關(guān)于 Sylow 定理的應用

第39卷第8期西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2014年8月Vol. 39 No.8 Journal of Southwest China Normal University(Natural Science EditionA2014DOI:10.13718/,cnki.xsxb.2014.08.026關(guān)于 Sylow定理的應用張良才,聶文敏,張苗重慶大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院,重慶401331摘要:通過(guò)例題的形式給出了《抽象代數》的經(jīng)典內容— Sylow定理的一些典型應用,加深了對 Sy low定理的理解,凸顯了它的重要性關(guān)鍵詞: Sylow定理; Sylow p子群;有限群中圖分類(lèi)號:O152.1;G420文獻標志碼:A文章編號:1000-5471(2014)8-0137-04挪威科學(xué)家L. Sy low在1872年發(fā)現了著(zhù)名的 Sy low定理,該定理提供了群的算術(shù)性質(zhì)和結構性質(zhì)之間的巧妙聯(lián)系,它是有限群最基本的研究結果之一,也是高校數學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的基礎課程—《抽象代數》的經(jīng)典內容之一. Sy low定理不僅指出了一類(lèi)子群的存在性,還討論了這類(lèi)子群的一些性質(zhì). Sylow定理在有限群的單性、可解性、共軛性、正規性、冪零性等許多方面都有著(zhù)廣泛的應用,因而 Sy low定理是研究群論特別是有限群的重要工具,文獻[3-4]分析了 Sylow定理的概念及其證明.在本科教學(xué)過(guò)程中,應用Sy low定理去解決問(wèn)題是比較困難的.教師在教授這一內容時(shí),除了要讓學(xué)生了解Syow定理的內容外,更重要的是教會(huì )學(xué)生如何使用 Sy low定理.本文從教學(xué)的角度出發(fā),通過(guò)例題的形式,闡述了如何讓學(xué)生逐步掌握使用 Sylow定理的技巧和方法,討論了 Sy low定理在硏究 Sy low子群的個(gè)數、共軛性、階極大性、包含性等方面的應用,加深了學(xué)生對 Sy low定理的理解,凸顯了它的重要性.文中符號與術(shù)語(yǔ)參見(jiàn)文獻[5預備知識定義設G是有限群,且|G|=pm,其中p是素數且pYm,則稱(chēng)G的p'階子群為G的一個(gè) Sy lowp-子群Syow定理設G是有限群,p是能整除|G|的最大的p的方冪,其中p是素數,則(1)G中必存在p階子群P,且P是G的 Sylow p-子群;()G中任意兩個(gè) Sy low p-子群都在G中共軛;(ⅲ)設Syl(G)表示群G中所有 Sylow p-子群的個(gè)數,則P∈Syl(GSyl, (G)I=I G: NG(P)Syl, (G)I=l(mod2 Sylow定理的應用21確定有限群的 Sylow p-子群的存在性及其個(gè)數例1證明:196階群G必有一個(gè) Sylow子群,它是G證根據 Sy low定理,因為|G|=196=2·72,所中國煤化工ow7-子群,與其共軛的子群的個(gè)數k=7t+1應是196的因數.因為196=2CNMHG、"所以q=0,即k=1.于是P是G的唯一的 Sylow p-子群.從而PG①收稿日期:2014-04-14作者簡(jiǎn)介:張良才(1971-),男,重慶巴南區人,副教授,主要從事代數與群論的研究138西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)http://xbbjb.swu.cn第39卷例2試確定4次交錯群A4的所有 Sy low子群解因1A4|=2·3,故A4有 Sy low2子群(階為4)和 Sy low3子群(階為3)因為K4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}顯然是A4的一個(gè) Sylow2-子群,且易知K1證令P是G的一個(gè) Sylow p-子群.若IG|=p",則G的中心C的階大于1.又因G不可交換,故C≠G,即C是G的非平凡正規子群,這與G是單群矛盾.因此,|G|至少有兩個(gè)不同的素因子.于是Lec pcg這樣,如果P是G的唯一的 Sylow p-子群,則P便是G的一個(gè)非平凡的正規子群,這與G是單群矛盾.故G的 Sylow p-子群的個(gè)數k>1例4設G是有限群且|G|=p,且(p,q)=1,q≠1(modp).證明:G有一個(gè)正規的 Sylow p-子群證設G的 Sylow p-子群的個(gè)數為k,則k≡1(modp).但由于k|G|=p((p,q)=1),故k=1P,q·P又因為p≠1(modp),p≠1(modp),而題設q≠1(modp),所以k≠p,q,P從而k=1,即G只有一個(gè) Sylow p-子群,進(jìn)而是G的正規 Sylow p-子群2.2有限群的 Sylow p-子群的共軛性例5設G是任意一個(gè)群,而K是G的一個(gè)有限正規子群,且P∈Syl(K).證明:G=Ne(P)K證任取x∈G,則由于P≤K