鉸接桁架結構動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究

第33卷第5期宇航學(xué)報Vol 33 No 52012年5月Journal of AstronauticsMay 2012鉸接桁架結構動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究李鳳明,吳志靜',劉榮強2(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院137信箱,哈爾濱150001;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院,哈爾濱15001)搞要:以鉸接桁架結構為對象采用譜元法研究鉸對桁架結構動(dòng)力學(xué)行為的影響,拓展了譜元法的應用領(lǐng)域。在頻域下將鉸結構考慮為一個(gè)譜單元,分別建立鉸、桿和梁?jiǎn)卧膭?dòng)力學(xué)剛度矩陣,并加以整合得到整體結構的動(dòng)力學(xué)剛度陣,進(jìn)而建立整體結構的動(dòng)力學(xué)方程。通過(guò)求解整體結構的動(dòng)力學(xué)方程,獲得結構的固有頻率、頻響曲線(xiàn)和時(shí)間響應歷程曲線(xiàn)并將譜元法的計算結果同有限元法的相應結果進(jìn)行了比較。分析結果表明譜元法在求解鉸接桁架結構的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題上具有較高的精確性,并且鉸的存在對桁架緒構動(dòng)力學(xué)行為具有顯著(zhù)影響關(guān)鏞詞:桁架結構;鉸;譜元法;動(dòng)力學(xué);時(shí)域響應中圖分類(lèi)號:0327文獻標識碼:A文章編號:10001328(2012)05055606DOI:10.3873/jis10001328.2012.05.005Study on the Dynamics Problems of Truss Structure with JointsLI Feng-ming, WU Zhi-jing, LIU Rong-qiang(1. P.O. Box 137, School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001. China:2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, ChinaAbstract: In this paper, theics problems of truss structure with joints are researched by using the spectralement method (SEM), and effects of joints on the dynamics behavior of the truss structure are analyzed, thus expandingapplication fields of the SEM. The joint structure is considered as a spectral element in the frequency domain, Thedynamics stiffness matrices of the joint, rod and beam elements are established respectively. The dymamics stiffness matrixof the whole structure is obtained by integrating the dynamics stiffness matrices of the joint, rod and beam elements, andthe dynamics equation of the whole structure is further established. The natural frequencies, frequency response curves andtime domain responses of the structure are obtained by the calculation of the dynamics equation of the whole structure. Theresults calculated by the SEM are compared with the comesponding results obtained by the finite element method. From thenumerical results, it is seen that the dynamics problems of truss structure with joints can be accurately solved by the SEMand the joints have obvious influence on the dynamics behaviors of the truse structure.Key words: Truss structure; Joint; Spectral element method; Dynamics; Time domain response這使得結構的單元數大大減少。 Doyle將這種頻域0引言?xún)冉５姆椒ǚQ(chēng)為譜元法,目前,譜元法已經(jīng)得譜元法通?；诓▌?dòng)方程的解建立插值函數,到越來(lái)越多力學(xué)工作者的關(guān)注。譜元法因其采由這個(gè)與頻率相關(guān)的插值函數得到的解在頻域上精與頻率有關(guān)的插值函數、與有限元法相結合、對復確滿(mǎn)足運動(dòng)方程-2),因此譜元法對結構動(dòng)力學(xué)方雜邊界具有廣泛的適應性以及譜方法的快速收斂性程的求解要比有限元法精確得多,尤其在高頻區域等優(yōu)點(diǎn)具有重應用價(jià)值優(yōu)勢更加明顯3。另外對于幾何形狀和材料性質(zhì)中國煤化工展結構中1),因致的結構部分,譜元法可以將其考慮為一個(gè)單元,為CNMHG傳統的有限元法收稿日期:2010803;修回日期:0203-22基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(50935002,2084)第5期李風(fēng)明等:較接桁架結構動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究求解大型空間結構時(shí)需要大量的存儲空間和計算A f(時(shí)間。盡管可以通過(guò)增加單元個(gè)數改進(jìn)結果的準確性,但是增加離散化單元個(gè)數不一定能保證對結果有所改進(jìn),因為結果的準確性還取決于結構和數值模型對誤差敏感性的大小。對于這種單元和節點(diǎn)的數目很多、要求得到高頻響應的結構,應該考慮其它更適合的方法,而譜元法可滿(mǎn)足這些要求。鉸是桁圖1含鉸連接的桁架結構架結構中連接兩個(gè)或多個(gè)部件的必要成分,鉸結構Fig. 1 The truss structure with joints模型對整體結構的動(dòng)力學(xué)特性有很大影響。游斌弟1.1桿結構模型等研究了鉸間隙對星載天線(xiàn)動(dòng)力學(xué)特性的影響。已知桿的運動(dòng)方程為igawa等采用譜元法研究了剛架結構中的彈性波傳播特性,計算了結構的受迫振動(dòng)時(shí)間響應歷程,但是PA92-EA(1)在他們的分析中未考慮鉸結構的影響,他們把各桿其中a表示桿的縱向位移,pA和E分別代表桿的件之間看作剛性連接"。Le釆用譜元法計算了螺密度、橫截面積和彈性模量。u可以寫(xiě)成譜表達形式栓連接桿結構的動(dòng)力學(xué)特性他將螺栓連接部件模如下1擬為剪切和扭轉彈簧。目前為止,還未見(jiàn)有采用n(x,1)=∑Ua(x,0)e(2)譜元法研究鉸接桁架結構動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究成果發(fā)表。其中ωn為圓頻率,UB2(x,n)為縱向位移的譜分本文以鉸接桁架結構為研究對象,采用等效彈量。將式(2)代入式(1),得到簧等效質(zhì)量模型建立了鉸結構的動(dòng)力學(xué)模型,采用U(x,an)=A1e“+Ae“)(3)譜元法對整體桁架結構進(jìn)行了分析求解,得到了結k。=a,√pE構的時(shí)間響應歷程曲線(xiàn),分析了鉸對桁架結構動(dòng)力其中A1和A4為與頻率有關(guān)的系數。為書(shū)寫(xiě)方便略學(xué)特性的影響。去上式中的下標nUn(x,)=A1e+Ae“”)(5)1結構運動(dòng)方程將節點(diǎn)處的位移代入上式,得到系數與節點(diǎn)位研究圖1所示鉸接桁架結構動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。該桁移之間的關(guān)系如下:架結構包含兩個(gè)“區”型子結構,兩個(gè)子結構由鉸連A =KU(6)接。外力作用于圖中A點(diǎn),計算在外力作用下A點(diǎn)的式中A=1A1,A4,U={Cm,Ua為桿單元響應。的兩個(gè)節點(diǎn)位移組成的列向量系數矩陣K表示為結構在運動(dòng)過(guò)程中,銘的運動(dòng)刪之間的相互摩x,=a-2a[剛度。所以本文所研究的桁架結構中的桿件并非繞將式(6)代人式(5),得到連接點(diǎn)做自由轉動(dòng),桿件結構也不再是單獨地承受UR(r, o)=Nr(x w)Ug+NR(x,o)UR(7)拉壓彎曲載荷而是以它們共同作用來(lái)工作。每個(gè)其中Nn(x,a)nk(L-x)和Na(xa)=m桿件單元的譜剛度陣由考慮縱向運動(dòng)的桿單元譜剛表示與頻率有關(guān)的形函數。度陣和考慮橫向運動(dòng)的梁?jiǎn)卧V剛度陣疊加獲得。將軸力F(x,t)寫(xiě)成譜表達式研充中將各個(gè)桿件和鉸分別看作一個(gè)單元,分別建中國煤化工,)e立各個(gè)桿件的桿和梁?jiǎn)卧V剛度陣,以及鉸單元的CNMHG譜剛度陣,并將它們組裝成整體結構的動(dòng)力學(xué)諧剛已度陣。558宇航學(xué)報第33卷由式(7)、(8)、(9得到頻域上節點(diǎn)力與節點(diǎn)位移關(guān)y =[-cos( kL)+cosh(kL)I( L)系為/[1-cos( AL)cosh(kL)]S(oUr =Fa=[sin(kL)+sinh(kL)](kL)式中F={F1,F2}為桿單元的兩個(gè)節點(diǎn)力組成/[1-cos(kL)cosh(kL)]的列向量,S(a)即為桿單元的動(dòng)力學(xué)單元剛度矩B=[-sin(kL)+sinh(KL)J L陣,其表示為/[1-cos(kL)cosh(kL)]SR(a)=EA kL-coskLy =[sin(kL)sinh(kL)J(kL)/[1-cos(kL)cosh(LL)]從上式可見(jiàn)單元剛度矩陣是與頻率有關(guān)的實(shí)矩陣?？梢?jiàn)上式為對稱(chēng)矩陣,與有限元方法不同的是,矩陣2梁結構模型中每一項都與頻率有關(guān),這正是譜元法具有高精度已知梁的運動(dòng)方程為的關(guān)鍵。El-=0(12)1.3鉸結構模型鉸結構的力學(xué)模型如圖2所示,其中包括彈簧將位移寫(xiě)成譜表達式和慣性系統。彈簧系統包括剛度為k,和k的拉叭(x,t)=∑(x,0n)e“(13)壓剪切和扭轉彈簧慣性系統包括集中質(zhì)量m和將式(13)代入(12)中,并略去下標n得到慣性矩L用三個(gè)節點(diǎn)LJ和R將鉸模型分為彈簧和(x,u)=A2e“+A」e慣性系統兩部分,如圖2所示。A,e獻-)+Ae--)其中k=√A2A3A3和A6為與頻率有關(guān)的系數。上式中第一項與第三項表示行波解,第一項表示沿x正方向傳播的波第三項表示沿x負方向傳播的波;第二項和第四項表示空間衰減振動(dòng)。利用圖2鉸結構力學(xué)模型示意圖與桿單元相同的推導過(guò)程,可得梁?jiǎn)卧濣c(diǎn)位移和Fig. 2 The schematic diagram of the mechanics model節點(diǎn)力之間的關(guān)系S,(o)UR= Fe(15)在頻域下,對于彈簧系統有如下力學(xué)關(guān)系:式中Um={n,B,n,b2為節點(diǎn)位移組成的列向量2:=BQ(17)其中和n為節點(diǎn)的線(xiàn)位移,B和碼2為節點(diǎn)的角位式中Q2=[1,F4,n,v,b,M和Q=[,F,移F。={V1,M1,V2,M2!為節點(diǎn)力組成的列向量,v,V,,MJ,其中正、F1、山和F分別為頻域下其中V和V為橫向節點(diǎn)力M和M2為節點(diǎn)力偶;LJ節點(diǎn)處的拉壓位移和內力;同理,、V、62和MS(a)為梁?jiǎn)卧膭?dòng)力學(xué)剛度矩陣,其表示為分別為對應L節點(diǎn)的橫向位移、剪力、轉角和彎矩,LyLy、V、0和M分別為對應J節點(diǎn)的橫向位移剪力、S2(u)=/(6)轉角和彎矩系數矩陣B中的元素為:Ly L'B1,2,…,6),B2=/k,Bx=1/k,B%=1/k,B對稱(chēng)矩陣中的其它元素為零。其中在頻域下,對于慣性系統有如下力學(xué)關(guān)系:a=[cos( kl)sinh (kL)+ sin(kL)cosh (kL)I( L)V凵中國煤化工(18)/[1-cos(kL)cosh (hL)],其CNMHG和R分別對應JB=[-cos(kL)sinh(kL)+ sin( kL)cosh (kL)JIL和R節點(diǎn);其中系數矩陣D中的元素為:/[1-cos(kL)cosh(kL)]D1=D3=Ds=1第5期李風(fēng)明等:鉸接桁架結構動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究D=Du DD矩陣中其他元素為零;為外激勵的頻率=0.2kg,J=2x107m2激勵力為指數衰減函數整合式(17)和(18),可得到頻域下鉸結構左端f(t)=Fe,其中F=5kN,a=200作用在圖1中到右端的傳遞矩陣所示位置,外力f(t)隨時(shí)間變化曲線(xiàn)如圖3所示。QL = ceR(19)式中:C11-md21-Lo'/k. cn Cu= c1/kC21=Ca=-m2,Cs=-la2,矩陣C中的其它元素為零。0020040.060.080.1對上式進(jìn)行變形,得到鉸模型的節點(diǎn)力與節點(diǎn)位移關(guān)系式如下圖3激勵力隨時(shí)間變化曲線(xiàn)S,w)UFig 3 Variation of the extemal force vs the time式中U={,2,,,,0n1和P=|F2,V采用譜元法求解式(21)時(shí)將圖1所示的桁架結M1,FmF2,Mm'分別表示鉸單元的位移矩陣和力構在頻域內劃分為14個(gè)單元其中包括8個(gè)桿-粱矩陣;S(a)為鉸的動(dòng)力學(xué)剛度矩陣單元和6個(gè)鉸單元。通過(guò)求解式(21),得到桁架結構上A點(diǎn)的縱向位移-頻率曲線(xiàn),如圖4所示。圖4中極大值點(diǎn)對應的橫坐標即為結構的固有頻率將結S33=-Sp=-SB=ke, p= kg-yo構的前7階固有頻率列在表1中。為了與有限元法系數矩陣S()中的其它元素為零可見(jiàn)S(a)為作比較還采用有限元法計算了圖1桁架結構各階固有頻率,計算結果也列在表1中。通過(guò)將譜元法與有1.4整體結構的運動(dòng)方程限元法計算的結果進(jìn)行比較可見(jiàn),在有限元法中單元針對圖1所示的桁架結構,建立了各個(gè)桿梁和數取得越多,計算結果越接近譜元法計算的結果說(shuō)鉸單元的動(dòng)力學(xué)剛度矩陣后,采用與有限元法相同明譜元法計算的固有頻率是準確的。的整合方式(這部分內容可參見(jiàn)有限元法相關(guān)內容),可得整體結構的動(dòng)力學(xué)剛度陣,進(jìn)而得到整體桁架結構的節點(diǎn)力與節點(diǎn)位移關(guān)系為S(a)U=P(21)旦續型促委式中S(a)為整體結構的動(dòng)力學(xué)剛度陣,U和P分別為整體結構的節點(diǎn)位移和節點(diǎn)力列向量。式(21)為線(xiàn)性方程組,其中的剛度陣S(ω)為00150200250300頃率/(rads)已知,節點(diǎn)力列向量P可以通過(guò)作用的外力來(lái)確定,圖4桁架結構A點(diǎn)的頻響曲線(xiàn)未知量為節點(diǎn)位移,求解式(21)可得到頻域內的各Fig 4 The frequency response curve of the truss structure節點(diǎn)位移,對頻域內節點(diǎn)位移進(jìn)行逆FFT變換,即可得到對應節點(diǎn)的時(shí)域動(dòng)力學(xué)響應。對頻域內A點(diǎn)位移進(jìn)行逆FFT變換,即可得到算例該中國煤化工中實(shí)線(xiàn)為果用14對于如圖1所示的桁架結構,其結構和材料參個(gè)CNMHG采用38個(gè)單元的數為:L=1m,中=m/4,圓形截面半徑R=0.05m,有限元禾,光例丑出線(xiàn)基本吻合。E=206×10Wm2p=7800gym3,k=960宇航學(xué)報第33卷表1有限元法與諧元法計算的固有頻率(rd/s)比較Table 1 Comparison of the natural frequencies(rad/s)computed by the FEM and SEM模態(tài)數有限元法譜元法4單元30單元38單元14單元旦缺名一49,87112.26111.94l1l.90118.90118.9000020040.06348.85276.65276.35276.14圖7結構上A點(diǎn)橫向位移隨時(shí)間變化曲線(xiàn)415.37286.62Fig. 7 Variation of the transverse displepoint A vs the time剛架譜元法有限元法0010.020030040.05000.04圖5桁架結構A點(diǎn)的時(shí)域響應Fig 5 Time domain response of the truss structure圖8結構上A點(diǎn)轉角隨時(shí)間變化曲線(xiàn)ig.8 Variation of the rotational angle of point A3結論本文針對鉸接桁架結構采用譜元法建立了桿、梁和鉸的動(dòng)力學(xué)剛度矩陣,將鉸結構考慮成彈簧和慣性系統,采用有限元法思想將各單元的剛度矩陣0040.06008整合為整體結構的動(dòng)力學(xué)剛度陣,在此基礎上建立整體結構的動(dòng)力學(xué)方程。求解整體結構的運動(dòng)方圖6結構上A點(diǎn)縱向位移隨時(shí)間變化曲線(xiàn)程得到結構的固有頻率頻域響應和時(shí)域響應,并Fig 6 Variation of the longitudinal displacement of將譜元法計算結果與有限元法計算結果進(jìn)行了比point A vs the time較。通過(guò)分析可見(jiàn):采用譜元法可以求解鉸接桁架為了分析鉸對結構動(dòng)力學(xué)特性的影響,在計算結構的動(dòng)力學(xué)同題,并且具有很高的精確性,譜元法點(diǎn)響應時(shí)分剛架(不考慮鉸的影響)和桁架(考的應用領(lǐng)域得到拓展;與不含鉸的剛架結構相比含慮鉸的影響)兩種情況圖6-圖8分別計算了A點(diǎn)鉸的桁架結構振動(dòng)幅值增大,因此實(shí)際應用中鉸的縱向橫向位移和轉角隨時(shí)間的變化曲線(xiàn)。從這幾幅動(dòng)力學(xué)特性不能忽略。圖中可以看出,含鉸桁架結構中A點(diǎn)振幅比不含鉸中國煤化工結構的剛架結構的振幅大這說(shuō)明鉸的存在使得桁1N MHGctures架結構的柔性變大。因此,對空間展開(kāi)桁架結構進(jìn)fast discrete Fourier transforms[ M]. Springer, New York行動(dòng)力學(xué)分析時(shí),應該考慮鉸的動(dòng)力學(xué)特性的影響。第5期李鳳明等:鉸接桁架結構動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究[2] Lee U. Spectral element method in structural dynamics[c]optimization of space trusses subject to frequency constraints[ J]Inha University Press, Inha University, Incheon, Korea, 2004.Engineering Mechanics, 2007, 24(4): 129-134.]3]LeU. Equivalent continuum representation of lattice beam:[10]張逸群,楊東武,杜敬利.周邊桁架可展開(kāi)天線(xiàn)小沖擊展開(kāi)ectral element approach [J]. Engineering Structures, 1998過(guò)程設計[].宇航學(xué)報,2011,32(05)1210.20;587-592[Zhang Yi-qun, Yang Dong-wu, Du Jing-li. Deployment des[4] Zak A. A novel formulation of a spectral plate element for wavefor reducing impact on the hoop truss deployable space antennapropagation in isotropic structure[ J]. Finite Elements in[刀]. Joumal of Astronauties,2011,32(5):1205-1210.Analysis and Design, 2009. 45: 650-658[1游斌弟,潘冬,趙陽(yáng).關(guān)節鉸間默對漂浮基星載天線(xiàn)擾動(dòng)研[5] Fabro A T, Ritto T G, Sampaio R, et al. 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