易拉罐的優(yōu)化設計

2009年第6期，大眾科技No.6, 2009(總第118期)DA ZHONG KEJI(Cumulatively No.118)易拉罐的優(yōu)化設計劉躍華，王貢獻，劉長(cháng)太(揚州.工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇揚州225127)[摘]通過(guò)對易拉罐應力分析模型，評估“百事可樂(lè )”易拉罐的設計合理性，并根據模型討論其他設計最優(yōu)方案。易拉罐最優(yōu)設計的目標是實(shí)現在容積-定的條件下使得用料成本最低。[關(guān)鍵詞]易拉罐;最優(yōu)設計;應力分析[中圖分類(lèi)號] O212.6[文獻標識碼] A[文章編號] 1008-1151(2009)06-0134-04(一)符號說(shuō)明.分析數據的合理性:K:表示體積，單位: ca!; R:表示圓柱體的半徑，單位:1.中間圓柱體的中部直徑小于其底部直徑，有利于罐的cm; h: 表示圓柱體的高度，單位: cmr n表示圓臺的上底底部向下正常放置時(shí)穩定性增強;面半徑，單位: cm; Sm:表示易拉罐頂部的表面積，單位:2.底部有凹球面，可以承受更大的壓力，起緩沖的作用。cat: Su: 表示易拉罐底部的表面積，單位: ca?; Sa: 表示整個(gè)易拉罐的總表面積，單位: cat; ya:表示整個(gè)易拉罐的造價(jià)，單位:元; a: 表示壁厚的單位面積造價(jià)，單位:元;A:表示橫截面的面積，單位: ca:; M表示橫截面上的內力，單位: M 0:表示橫截面上的正應力，單位: Nad: A.: 表示易拉罐斜截面k-k 的面積，單位: caf; P:表示作用在微小面積△A上的平均應力，單位: Nmf.圖1圖2(二)模型假設在當易拉罐容積不變的條件下，能使易拉罐制作的材料1.假設易拉罐是正圓柱體，不存在底部凹球面.最省，即為易拉罐的最優(yōu)設計，從而得到設計最優(yōu)時(shí)易拉罐2.在355毫升的體積標準下，設計方案。的形狀和尺寸。3.易拉罐圓簡(jiǎn)是一-次沖壓制成的。若頂部、底部與中間圓柱體部分的厚度相等，計算易拉4.易拉罐制造材料的成本僅與厚度成正比，不受其他因罐內部的最小表面積，如下圖: r, R, h=h +h這三個(gè)量素的影響。.均為易拉罐的內部尺度。(三)模型建立與求證假設易拉罐是- -個(gè)正圓柱體，取底部?jì)戎睆?R為正圓柱用千分尺測得一一個(gè)實(shí)際的“百事可樂(lè )”飲料罐(凈含量:體的直徑。355毫升),數據如下: .那么正圓柱體中: sn=xR'， Sm=2rRh， Sm =R’故S。=Sm +Sn +Sm =2xR2 +2mRh=2r(R* +Rh) (1)中間圓柱體靛(a0.90. 97010. 366厚度(a)0.00.0600.030又因為r=zR2h,即h=(2)mR2中都6.570直徑(a)5.6305.8830事近成都0.699將(2)式代入(1)式得:注:各個(gè)數據均包含壁厚.Sg=2n(R*+R元)[收稿日期] 2009 -03-01[基金項目]揚州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院科技創(chuàng )新基金資助項目中國煤化工[作者簡(jiǎn)介]劉躍華(1984-),男，江蘇宿遷人,揚州工業(yè)職業(yè)技CNMH G1982-).男，江蘇徐州人，揚州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師，研究方向為管理科學(xué)與工程;劉長(cháng)太，另,物m工亞職亞程不于風(fēng)社師，研究方向為數學(xué)應用技術(shù)。- 134-再對Sg進(jìn)行求導，S%=2(2R-()'令S'=0，得出:P. =p.橫截面上的正應力是均勻分布的，它的方向與橫截面垂直，故為正應力σ，其計算式為:。= N.假設用一平R=層. V=xRih, h=.R2面沿k-k將易拉鳙切開(kāi)，分成兩部分，取左邊部分為研究對簡(jiǎn)化得:h=2xy-=2R'即h/R=2.象進(jìn)行受力分析。如下圖4:以測得的厚度數據為依據，若頂部、底部與中間圓柱體部分的厚度比為2:1,設入= h,罐壁造價(jià)每平方厘米為a,+頂部、底部與中間圓柱體部分的厚度比為2: 1,故罐底造價(jià)圍4每平方厘米為2a.又h_上,從而mR2由靜力平衡方程SF, =0,求得斜截面k-k上的內力為:ys =2ax2xR2 +ax 2xRhN=F,那么，斜截面上各點(diǎn)的應力P。也是均勻分布的，它= a(4zR2 +2zR x的方向與軸線(xiàn)平行，其大小為: p.. N .設A為易拉罐的橫A截面面積，斜截面k- k的外法線(xiàn)n與桿軸線(xiàn)(x軸)的夾角23aV4tY7為a，如圖5:當且僅當4xm2= 1_ h,即h= 4R時(shí)造價(jià)最省，此時(shí)h=4.R" R'--E=則正圓柱體在355毫升時(shí): v =nrR2h=4R'π=355,求得: .R=3.0456.根據測得的數據，中間圓柱體的中部直徑約為6.570,其高為10. 366,得到: h=3.16R.從易拉罐的整體考慮，其頂蓋到底部的高為12. 250，中間圓柱體的中部直徑約為6.570，得到: h=3.73R， 而3.73較接近于4,因此，測得的數據較合理。若易拉鱺是一一個(gè)正圓柱體，并且其內部物質(zhì)是密度平均圍5的，我們將其內部物質(zhì)視為相對固定的流體。裝有液體的封口易拉罐本身存在內部作用力，外力引起了內部作用力的改則由幾何關(guān)系可得: A-_，于是有: p.coona=ocoa變.以mn橫截面圓柱體，分析橫截面rm上某點(diǎn)K的應力斜截面上各點(diǎn)的應力p可以分解為兩個(gè)正交的應力分情況。圍繞K點(diǎn)取一微小面積M,如圖3所示.設AP是作用在量，如圖5-2.其中沿斜截面法線(xiàn)方向的分量為:σ。=P。cosa微小面積as.上的內力，則。。4P 稱(chēng)為作用在微小面積a.上的顯然，法向應力分量。就是斜截面上k-k 各點(diǎn)的正應力。沿.-斜截面k-k切線(xiàn)方向的分量為: r。 =P。sina.它就是斜截面k-k.上各點(diǎn)的剪應力。由此可得任意斜截面上的正應力和平均應力.剪應力的計算公式為: o.-oora， s.gsa2a .當易拉罐受軸向拉伸或壓縮時(shí)，在任意斜截面上將同時(shí)出現正應力。和剪應力r。，而且它們都是截面方位角a的函數，其最大值發(fā)生在:(1)當a=0時(shí)，正應力達到最大值，其值為o。=σ_ =σ,即易拉鹺受軸向拉伸或壓縮時(shí)，最大正應力團3發(fā)生在橫截面上.把應力p分解成互相垂直的兩個(gè)分量，如圖3,其中垂分析易拉鑶受拉伸時(shí)的應力情況:中國煤化工值,其值為x_=x號直于橫截面的分量為正應力，用o表示;平行于橫截面的分[HCNMHG結化:易垃睡文柵網(wǎng)位仲取壓彌時(shí)，在與橫截面成45*角量稱(chēng)為剪應力，用T表示:而P則稱(chēng)為K點(diǎn)處的總應力, .的斜截面上產(chǎn)生最大剪應力，其值等于橫截面上正應力值的-135-一半。方厘米)時(shí)的R，h, 的值。如圖9: .根據上述結論，以易拉罐的底部某點(diǎn)K為例，分析該點(diǎn)的正應力與剪應力的情況，得出:易拉罐的底部受的正應力是易拉瓘圓柱體側面受的剪應力的兩倍。因此，底部適當的加厚是生產(chǎn)安全易拉罐的需要。在最優(yōu)設計的正圓柱體上，截得中心縱斷面。再以與壁的交夾角θ，截這- -縱斷面，使之呈現上面部分是-一個(gè)正圓臺， 下面部分是一個(gè)正圓柱體的圖形，如圖6:Z圖8團9圓臺的內體積為:十". =(+5Fr+) == +J-"mR +?)仫圍6根據直角三角形的性質(zhì)，令h為一個(gè)單位長(cháng)，可得o的正圓柱體的內體積為: Ve = nRh大小與整個(gè)正圓柱體的節約用料z的關(guān)系:由h=1, R=r+1, h+氣=4(r+1)=h=4r+3,得:Vg=Vx +V#z= r(27an09+1- SecO), 0<0<芒.其中K與2Tan0+1- SecO=x(r2 +r+-)+*(r+1)Ph星反比例。令{(的)= 2Tan0+1-SecO.0<0<營(yíng),< m，作出其圖象，=(4r2' +12r2 +I1r+g)r如圖7:將Vg =355代入上式，得r=2.0699， 理論計算得:么=4r+3-11.2772，則: h=h +hz +111.2772-=12.2772由測得數據h =0.970,代替h =1的值,得r=2.0693，離測得的r = 2.275有- -定的差距.圍7差距原因分析，如下:(1)“百事可樂(lè )"飲料罐(凈含量: 355 毫升)的正圓臺觀(guān)察圖象知，f(e)為增函數. 當θ趨近于“時(shí)，正圓柱的壁厚大于正園柱體的壁厚;(2)不僅僅是“上面部分是-一個(gè)正圓臺，下面部分是一體的項部的厚度就為壁厚。那么，其設計不合乎已建模型中個(gè)正圓柱體”，底部有凹球面，壁不是絕對垂直與底部，頂蓋的結論。當g=匹時(shí)，正圈臺壁上的剪應力達到最大值，因而實(shí)際上也不是平面的，略有上拱。注:內力一外力引起的物體內部的作用力。必須在壁上加厚，以保證安全性.設壁厚為底厚- -半,得到:整理所得的數據:(1)底部高+頂部高65:0 AP= BQ，所以浪費易拉罐在使用相等材料下，可考慮將底部凹球面變?yōu)榻?n(P- AP)的用料。其中η為FP- AP的值的正比例變t.似平面，頂部利用底部的多余用料，把頂部做成拱起的圓球∠APF越小，浪費的用料越少。形。如圖10所示。從而，CAPF 為定值時(shí)，AP的長(cháng)度越小，浪費的用料越利用球體的性質(zhì):同面積的幾何體，以圓球的體積最大.通過(guò)擴大球體的容積的方法，因而在體積一定的情況下，球少。即正圓臺的高越小，浪費的用料越少。體所需的制作材料最小，達到節約用料的目的，使得易拉罐根據。0<0<ξ'結合人的下嘴唇厚度，取h =1匣米較合的用中國煤化工為riCNM HG'下部為等邊圓柱(半徑理。令g_匹，則R=r+1.在此情況下，求得v。=355 (立標系，對基本模型進(jìn)行分析., 如圖11,利用直角坐.136-A10.5. -x圈10圖11圖12.不妨設球體的半徑r為一個(gè)單位。那么，模型的高為.將此曲線(xiàn)的兩頂點(diǎn)靠在圖11-2,以曲線(xiàn)的x=1點(diǎn)，靠近厄●分別取AB cD的中點(diǎn)B F,再過(guò)兩中點(diǎn)分別作兩條底部。從而，手感更好，且在握住易拉罐時(shí)更加穩固。美感:當兩個(gè)面經(jīng)直線(xiàn)連接時(shí)，取黃金分割率。如圖11-1,切線(xiàn)，切點(diǎn)為P, e.如圖11,在坐標系上，(0.1+距底部距離為1. 50 (單位長(cháng))左右時(shí)，為黃金分布的接線(xiàn)。我們將取f()區間的中點(diǎn)，即x=-1時(shí),使對應的f(-1)的點(diǎn)PO0.5.0.5),由球體的半徑為1,得到: EP =NGE2-1 =1.05642.與接線(xiàn)重合。那么，它的分布符合黃金分割率。從而，模型圓球的頂點(diǎn)到模型的底面的線(xiàn)段上的黃金分割距離為在實(shí)用性與美感方面得以?xún)?yōu)化。1.1.利用CAD作圖器，可以作出其立體圖形?，F在，我們討論易拉罐設計的實(shí)用性與美感:[參考文獻]實(shí)用性:要使易拉罐設計的實(shí)用性更強，我們可在其壁[1]周志安化工設備設計基礎[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社:1996.上加工一個(gè)圓環(huán)形的凹面.[2] 李志林.數學(xué)建模及典型案例分析[M].化學(xué)工業(yè)出版社,2005.在下部的底面上設計拉環(huán),以函數*(x)=中,在-3SxS1[3]羅萬(wàn)成大學(xué)生數學(xué)建模案例精選[M].西南交通大學(xué)出版的區間上的曲線(xiàn)，如圖12為標準，對模型進(jìn)行加工.[4]許洪范.教學(xué)建模教程[M].國防工業(yè)出版社,2003.(上接第123頁(yè))斷裂構造的關(guān)系是:①上升和下降斷塊交接部位由于垂向作用形成的區域性斷裂，常在隆起-側次級斷裂中形成各種類(lèi)表1鳳凰山銀礦床中黃鐵礦的產(chǎn) 出特征型的充填型礦床，凹陷- -側形成交代型礦床。②區域性的剪切斷裂，常在兩側次級斷裂或兩組斷裂之間的次級斷裂中成成界或石英一長(cháng)礦。③控礦構造常具有等距性、對稱(chēng)性和側列性，可作為深錳r-頓礦物形自行半自形的立白形一串白形的立方自形一半自己的立方白形-率自形的立方體部及外圍找礦預測的依據之一.④在多組斷裂交接部位成礦。方體，古較多的它體，服少有立方體與八體，齒板少的五角十⑤層間斷裂破碎帶及其兩側次級斷裂中成礦。面的秦形二面體，立方體與人2.收集和研究礦化顯示院徑(D)0.04~0.8 J0.05-2.00 0.04~-3.50二10 06~-2.00運用成礦系列,礦床組合模式和各種綜合成礦模式理論，共生廣物白鐵礦、岡飾礦、-閃樣礦、美件體礦。成化礦-2.到餐礦物.石奏-4、美化預測成礦作用類(lèi)型、強度和空間位置.r.領(lǐng)礦物、石英-2鍋礦、灰堿儲鉛w、r.錳方解石(1)直接礦化顯示:①?lài)鷰r蝕變.圍巖蝕變是傳統找礦產(chǎn)出特證起常與受染狀有空漫染狀。團塊狀，或常與其它多金屬硫常在石英一菱耀礦理方法之一-,根據礦區中硅化、黃鐵礦化、硫錳礦化與成礦的狀。分叉降狀.馬脈石英黃快V-電沙(故).或煙成石英一廣組脈成菱保礦中里相關(guān)關(guān)系，故應對本區的圍巖蝕變進(jìn)行詳細分析，以指導深尾飲狀等分布在細融分布于礦體邊郵黃鐵廠(chǎng)-方怕礦脈分視染狀分布在礦體中部及外圍找礦。②物化探異常。礦區開(kāi)展了高精度磁測，井礦體的邊舞布在礦體中部都及邊部.中物探工作，化探進(jìn)行了1/2 萬(wàn)化探土壤測量工作。通過(guò)工作，相應發(fā)現- -些異常 與礦化吻合，故應加強礦區及其外圍礦區中硫錳礦化常生成硫錳礦，常以粗-細脈或散粒狀與的物化探工作，利用更加先進(jìn)的方法及手段獲取相關(guān)信息，石英、黃鐵礦、碳酸鹽巖徼細脈相伴產(chǎn)出，是重要的銀礦載以指導深部及外圍找礦。③斷裂構造地球化學(xué)異常。斷裂是體礦物。.礦區主要的控礦及容礦構造.斷裂構造地球化學(xué)測量的目的(四)深部及其外圍找礦方法探討是為了強化巖石地球化學(xué)異常，捕捉來(lái)自地下深部的微弱信1.溧化常規地表地質(zhì)調查息，以指導深部及外圍找礦。研究與成礦有關(guān)的各種地質(zhì)因素或礦體的規模，產(chǎn)狀及總而言之，為了有效地達到深部及外圈找礦目的，必須空間變化規律，分析推測其延深情況，制作-定深度及外圍全面分析已有地質(zhì)資料，選擇最佳方法組合，制定合理的找預測地質(zhì)圖，縮小深部及外圍找礦靶區。礦方法。(1)利用地層標志找礦:∈h'* 是本礦區的主要控礦層.中國煤化工位，研究礦區及外圍∈h'2的分布、埋深等對指導礦區深部及外圍找礦有著(zhù)直接意義。[1] 鳳C N M H G西第四地質(zhì)隊1995.MH(2)利用控礦構造與成礦關(guān)系指導找礦:斷裂構造是礦[2]聿崇具.內生金屬礦威礦規律及隱伏礦床預測方法[D].南方區的主要控礦及容礦構造，我們知道，深部找礦有利部位與國土資源,2008.07.-137-