HIV病理動(dòng)力學(xué)模型分析

第12卷第6期北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol. 12 No 62011年12月JOURNAL OF BEIHUA UNIVERSITY( Natural Science)Dec.2011文章編號:10094822(2011)0640621406HⅣ∨病理動(dòng)力學(xué)模型分析蘇雙雙,王凱,夏米希努爾1.新疆大學(xué)數學(xué)與系統科學(xué)學(xué)院新疆烏魯木齊830046;2新疆醫科大學(xué)醫學(xué)工程與技術(shù)學(xué)院,新疆烏魯木齊830054)摘要:考慮了CDT細胞的全 logistic自我繁殖,構造了具有治療的HV病理研究模型,研究了解的存在性、正性及穩定性通過(guò)對每個(gè)感染T細胞釋放的HⅣ病毒平均數量N的討論,得到:如果NN灬,有無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)兩個(gè)平衡點(diǎn),但此時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)不穩定,地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩定的最后通過(guò)構造 dulac- Benison函數,得到了地方病平衡點(diǎn)全局穩定的條件關(guān)鍵詞:HV;T細胞;漸近穩定;平衡點(diǎn)中圖分類(lèi)號:0175.12文獻標志碼:AAnalysis of the Dynamics Model of HIv Pathogenesis ModelSU Shuang-shuang, WANG Kai, Xamxinur(1. College of Mathematics and System Sciences, Xin jiang University, Urumqi 830046, China;2. Department of Medical Engineering and Technology, Xinjiang Medical University, Urumgi 830054, ChinaAbstract: HIV virus, which invade the human body, mostly parasitic in the T cells, where they transcribe RNAduplicate, then generate some new ones, at last kill the infected T cells, released from them. According to this wedivide the species in this paper into three kinds: uninfected T cells, infected T cells and HIV. Only uninfected Tcells can be created by body, others can't increase because of external input. Being predator, HIV just add frominfected T cells. We have proved that if NNit the infected steady state is locally asymptotically stable. Both of them are globally asymptotically stable ifone condition is satisfiedKey words HIV; T cells; asymptotically stable; equilibrium1引言自從20世紀80年代艾滋病被發(fā)現至今,已有許多關(guān)于HV病理學(xué)研究結果2,尤其是近些年將數學(xué)模型與HV病理學(xué)相結合3.我們更好地理解和治療HV提供了很大的幫助作為威脅人類(lèi)最強的傳染病之一,對HIV病理研究是十分必要的而數學(xué)模型這一強大的工具,在史上幾次流行病研究中顯示出了其強大的威力眾所周知,HⅣV進(jìn)入人體后主要攻擊T淋巴細胞(簡(jiǎn)稱(chēng)T細胞),寄宿在T細胞內,完成RNA反轉錄及復制,當產(chǎn)生新的HV病毒后再將T細胞徹底殺死『產(chǎn)中的*6,故對具有收稿日期:20110924CNMHG作者簡(jiǎn)介:蘇雙雙(1986-),女,碩士研究生,主要從事常微分方程及其應用研究;王凱(1982-),男,講師博士,主要從事微分方程在生物傳染病、復雜網(wǎng)絡(luò )的應用研究622北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第12卷藥物治療模型的T細胞及HIV的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行討論會(huì )對艾滋病的治療提供很大幫助.在這些模型中,人體免疫系統中其他對HV病毒具有殺傷力的,如CDT細胞也已考慮進(jìn)去雖然完全殺死HⅣV是不可能的,但華裔科學(xué)家何大一發(fā)明的雞尾酒療法對控制HV病毒攜帶者體內的病毒數量收到了意想不到的效果HIV病毒在人體內可以達到一平衡狀態(tài),且可以局部漸近穩定,但能否全局穩定,我們將進(jìn)行討論A S Perelson等7討論了如下基本模型:d-T-krv1.1)T(1)=kⅣV-δ7,V(t)=NδT’-cV但對系統(1.1)作者忽略了被感染的T細胞的自我繁殖能力HIV的RNA經(jīng)過(guò)反轉錄,形成DNA.因此,病毒DNA是通過(guò)整合到T細胞的DNA中才完成復制8],從這方面來(lái)看被感染T細胞應該也是具有自我繁殖能力的但因感染了HⅣV,治療中有抑制其繁殖的藥物,其活躍性要減弱通過(guò)以上分析,我們可做如下模型假設1)只有HⅣV病毒可以感染T細胞,被感染的T細胞不能傳染健康T細胞;2)T細胞在人體中的數量有最大值;3)基于以上理論及假設,我們可得如下模型7(t)=s-1T+r1T1i(t)=A1rv+r,n(1T+1)-a21(1.2)V(1)=Nu2/-u3V,其中:T,,V分別表示健康T細胞、被感染T細胞和HIV病毒數量;5表示人體淋巴系統產(chǎn)生健康T細胞的速率;Tm是T細胞在人體中含量的最大值;λ是HV病毒感染健康T細胞的速率;l1,u2,3分別表示健康T細胞感染T細胞和HV病毒的死亡率(u10,l(0)>0,V(0)>0(1.3)2解的正性及有界性分析如果沒(méi)有HIV病毒人侵,健康T細胞的動(dòng)力系統為T(mén)=s-1+T1-可見(jiàn)健康T細胞在T時(shí)達到穩定,其中TT4r且7滿(mǎn)足(u1-r1)T0下面我們研究模型(1.2)的正性定理2.1在初值條件(1.3)下,系統(1.2)的解都是正的證明反證法因為r(0)>0,假設正性不成立,則存在T(t)=0,其中to=inft|t>0,7(t)=0由系統(1.2)中的第1個(gè)等式可知T(4)=s>0.而根據導數的定義可知T()≤0.矛盾.所以T()>0恒成立中國煤化工現在我們證明(t)>0,V(t)>0恒成立若不成立,則存在CNMHG)I(t1)=0,W(t1)>0,且存在t∈(0,l1),有I(l)>0,V(t)>0,P(t1)≤0成立,而由系統(1.2)的第2個(gè)等式有6期蘇雙雙,等:HV病理動(dòng)力學(xué)模型分析4)=(4)4)+6(4)(1-(4+()-(4)=7(44)>0,矛盾;i)I(41)>0,v(t1)=0,且存在t∈(0,),有I(t)>0,(t)>0,v(t1)≤0成立,而v(t1)=Nu2(t1)-u3V(1)>0,矛盾;ⅲ)I(t1)>0,(t1)=0,且存在t∈(0,t),有I(t)>0,v(t)>0,而l(t)=0,W(t)=0是系統(1.2)的一個(gè)解,且滿(mǎn)足初始條件l(t)=0,(t)=0,由解的唯一性,對任意t≥0,有l(t)=0,V(t)=0恒成立,矛盾下面研究解的有界性定理2.2系統(1.2)滿(mǎn)足初始條件(1.3)的解有界證明由系統(1.2)的第1個(gè)等式得T≤-T+7(1-)所以,如果7(0)<70,那么 lim sup7(t)≤T,對所有t>0成立將系統(1.2)的前兩個(gè)等式相加得a(r+n=s-a1r+nr(1-T+1+n1(1-x+)-n1/≤r2(T+D)s+r1(T+1)-(T+D)r2(T+nT(n1-u1)(T+1)+s.(2.1)由式(21)可知,存在M1>0,使得T+/≤M1成立,又因為(t),W(t)常正,則存在M2>0,使得同樣,由系統(1.2)的第3個(gè)等式得那么N+(v(0)(2.2)通過(guò)不等式(2.2)可知v(t)恒有正上界(記為M3)3平衡點(diǎn)的存在性系統(1.2)的平衡點(diǎn)滿(mǎn)足的方程為A1v-u1T=0,A,TV +2112=03.1)-n3V=0.顯然系統(1.2)有無(wú)病平衡點(diǎn)E0=(7,0,0).由方程組(3.1)的第3個(gè)等式,有將式(3.2)代入式(3.1)的第2個(gè)等式得λ1L把式(3.1)的第1個(gè)等式改寫(xiě)為A將式(3.2)和式(3.3)代入式(3.4)得中國煤化工(B1+B2V)(B3+B4V)CNMHG或B2B,V+(B,B4+B, B,)V+B,B624北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版式中l2r2lruat+ Tr1(u2-r2)u3TINAl1 TA,Nu2Tma(,-r2)u,+A, Nu2TB(NA,u,Tmas)系統(1.2)有正解當且僅當等式(3.5)有一個(gè)正解V使得B1+B2V>0.簡(jiǎn)單起見(jiàn),令-(B2B3+B1B)±√(B2B3+B1B)2-4B2B4(B1B3-s)2B.B如果u2>r2,B1B3-5<0等價(jià)于s(NAju2Tmax-r2u3)-(u2-r2)u3Tmax (u, -T(NAu2Tngx-r2u3)-(u2-r2)u3Tmar ,>0上述不等式的解為N>N(u2-r2)3r2A,u2To A,u2T(u2-r2)T其中:Nm=A1u2T0(r1T07T2s u,T2分3種情況討論:情形1.如果N>N_,那么B1>0,B2>0,B4>0,因而B(niǎo)2B4>0,B1B3-5<0,系統(3.5)有一個(gè)正解v,B1+B2V,>0,所以T=B1+B2V,=mV,此時(shí)V=V,所以系統(1.2)只有一個(gè)正平衡點(diǎn)E=(T”,I,V).情形2如果、20,B2>0,B,>0,進(jìn)而B(niǎo)B4>0.當n10;當r1>u1時(shí),由N≤Nn,有MA1u2mx-r2u3≤所以(ur-T,(NA u2T(u2 -r2)u3Tmax(u-r.)進(jìn)而(u1-r1)(NA1a27十r;u2(2-1){(-x)La s所以B3>0.故有B1B3+B2B4>0,系統(1.2)無(wú)正平衡點(diǎn)情形3.如果0Nm時(shí)系統(1.2)只有一正平衡點(diǎn);當NNa時(shí)系統(1.2)只有一正平衡點(diǎn);當NN-,那么B1B3-s<0,B2>0,B4>0,從而B(niǎo)2B4>0,所以等式(3.5)只有一正根V.,B1+B,v。BB4-B2B+√(BB,-BB1)+4BBs、B1B、-B2B+|B1B1-B,B≥0,所以,系統2B4(1.2)只有一正平衡點(diǎn)E=(T,,V),此時(shí)V=Vⅱ)如科C0,B4>0.但B1<0,因為B1B3-<0,所以B3<0,得到兩個(gè)正根V和V,,但是B1+B2V=B,B,-B,B,+V(B,B4-B2 B,)+4B, B,BB1B4-B2B3+|B1B4-B2B3B,B4-B2 B,+V(B, BA-B2B3)+4B,BA2B≤0,B1+B2V,2B4B,B -B2 B,+B, B 4 -B, B3≥0,所以系統(1.2)只有一正平衡點(diǎn)E’=(T,,V),此時(shí)v=Vnuⅲ)如果Nan0,B1>0,B2<0,進(jìn)而B(niǎo)3>0.當B4>0時(shí),B2B4<0,V<0,v,>0,又B1+B2VBB-B2B+√(BB-B2B)+4BBs、BB-B+|BB1-BB1≥0,所以,系統(1.2)只有一正平衡點(diǎn)E=(T,',V),此時(shí)v=V;當B4<0時(shí),B1+B2V=B,BA-B,B,+V(B, B4-B2B3)2+4B, B,s B, B,-B2B,+B,B,-B2B3≤0,B1BeV2B42BBB-BB+√(BA-B2)+4BB.、B-B1+1B1-B.≥0,所以,系統(12)只有2B42B4一正平衡點(diǎn)E*=(T”,,V),此時(shí)v=Viv)如果N0,B2<0,B4<0,那么B2B4>0,只有一正根V,但是B1+B, v-B, B4-B, B,+V(B, B4 -B2 B,)2+4B, BAS B,B4-B2B,+ B Bs-B2B3≤0,所以系統2B42B4(1.2)無(wú)正平衡點(diǎn)定理31如果NNm,系統(1.2)有無(wú)病平衡點(diǎn)E=(70,0,0)和地方病平衡點(diǎn)E=(T”,,V)4平衡點(diǎn)的穩定性分析令E=(行,1,V)為任意平衡點(diǎn),系統(1.2)在點(diǎn)E的線(xiàn)性化矩陣為2r1T+r27TT入λ1TA,V該矩陣的特征方程為A+Q1T 1, TT-n,vA+Q2-A=中國煤化工N4 +uCNMHG2r, Tr,T+2rI其中:Q1=u1-r1+即北華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第12卷(A+1-2+2x2)j2+cM+c1-c)=0,(4.1)其中:Co=a2{l1~n2)+(1-)+l3>0,C1=1-r2)T+2r27顯然A1=-u,2rT=-(u<0,方程(4.1)的其余特征根依賴(lài)于A(yíng)2+C0A-C1-C2=0.如果N0,只有負根,E局部漸近穩定;如果N>Nm,那么C1-C2<0,E。是鞍點(diǎn),不穩定因此,得到無(wú)病平衡點(diǎn)的局部穩定性結果定理4.1如果NNom,E不穩定.在點(diǎn)E處線(xiàn)性化后系統(1.2)的特征方程為A3+p1A2+P2A+p3=0,其中:rrT/AITV T27)+y(÷+)+(A,V令Q=P2-內=(+r1T”A1Tv,r2IA,T"V+41,Ar4pA1V·」,得到E’的局部穩定性結果定理42當N>Nm時(shí),如果Q>0且7-A1V>0,E局部漸近穩定最后我們用 Dulas準則來(lái)判斷系統有無(wú)周期解及極限環(huán).令B(T,1p)=7,可得a(BT+(BD)+0(Bn)=-s-+2所以,如果a2+u3>r2,則系統(1.2)無(wú)周期解定理4.3如果u2+u3>r2,系統(1.2)無(wú)周期解,則當NNn時(shí),E·全局漸近穩定參考文獻[1] A Perelson, A Neumann, M Markoitz, et al. 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