軸向運動(dòng)紗線(xiàn)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)

第24卷第5期蘇州大學(xué)學(xué)報工科版Vol 24 No, 52004 410 A JOURNAL OF SOOCHOW UNIVERSITY ENGINEERING SCIENCE EDITION)Oct.2004文章編號:1000-19992004)5-0023-04軸向運動(dòng)紗線(xiàn)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)馮志華朱曉東蘭向軍蘇州大學(xué)機電工程學(xué)院江蘇蘇州215021)摘要以?xún)啥思s束的軸向運動(dòng)紗線(xiàn)為分析對象建立了相應的線(xiàn)性波動(dòng)方程。采用 Galerkin截斷法獲得了描述軸向運動(dòng)紗線(xiàn)旳橫向振動(dòng)一階近似常微分方程?；诙喑叨确ㄖ攸c(diǎn)研究了系統主參激共振時(shí)系統的穩定性問(wèn)題獲得了穩定性臨界曲線(xiàn)的近似解析表達形式。研究結果表明穩定性區域與軸向運動(dòng)平均速度V及波動(dòng)速度幅值V1密切相關(guān),V與V1越大不穩定區間越寬。關(guān)鍵詞玅線(xiàn)κ galerkin截斷迻多尺度法莊參激共振穩定性中圖分類(lèi)號313文獻標識碼0前言在紡織工程的紡、絡(luò )、并、捻、槳等工序中紗紗線(xiàn)大多以軸向運動(dòng)為主體完成相應的工序隊從力學(xué)模型看此類(lèi)狀況的紗線(xiàn)可近似作為一定張力下的軸向運動(dòng)弦處理此時(shí)紗線(xiàn)的運動(dòng)或動(dòng)力行為有可能影響其工藝乃至最終產(chǎn)品的性能與質(zhì)量。本文以前述紗線(xiàn)為分析對象通過(guò)研究期望了解并掌握相關(guān)非線(xiàn)性動(dòng)力行為〔特別是動(dòng)力穩定性躊性為有關(guān)工程技術(shù)提供理論指導。近年來(lái)許多學(xué)者已對軸向運動(dòng)弦的振動(dòng)進(jìn)行了研究取得了一定的成果。 Huang等涉及運動(dòng)弦三維方向振動(dòng)的穩定性問(wèn)題1] Mochensturr等導出了弦振動(dòng)時(shí)的非平凡響應極限環(huán)的幅值及其穩定性的解析表達形式3 Pakdemirli、Usoy采用rloqμet理論數值分析了弦振動(dòng)響應的穩定性問(wèn)題3并確定了軸向加速弦的穩定性邊界4 Suweken等構造傳送帶振動(dòng)的漸近近似解以顯現系統復雜的動(dòng)力行為51,agat46、Chen等7用數值或解析分析了靜止或運動(dòng)弦的分岔及混沌現象。本文在導岀軸向運動(dòng)紗線(xiàn)的橫向振動(dòng)方程的基礎上采用 Galerkin截斷法并結合多尺度法重點(diǎn)研究了系統主參激共振時(shí)的穩定性特性動(dòng)力學(xué)模型考慮圖1所示軸向運動(dòng)紗線(xiàn)模型紗線(xiàn)模型化為弦)在兩個(gè)固定羅拉間以恒定的初始張力沿x方向以速度Ⅸt)運動(dòng)現只考慮其在α方向存在橫向振動(dòng)且其振動(dòng)的位移為τ(x)根據文獻5相應的動(dòng)力學(xué)方程為wn t 2V0式中c=√T/p為紗線(xiàn)的波速,Io及ρ為相應的恒定初下標x、t分別代表對位置及時(shí)間的導數。假定L為兩羅拉在x=0及x=L處無(wú)橫向振動(dòng)即邊界條件為m YHg中國煤化oCNMHG圖1軸向運動(dòng)紗線(xiàn)模型收稿日期204-08-01擇看翻單月起學(xué)禽班默接坐要計列方向為非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)與控制24蘇州大學(xué)學(xué)報工科版)第5期(0t)=0;(L(2)在下述分析中紗線(xiàn)的軸向運動(dòng)速度Vt)設定為v(t)=Vo+ VIcodnt(3)式中V為平均速度,V1、a分別為速度間諧波動(dòng)的幅值及頻率。將上式代入式1)有wm,+(vc2 )Wrr 2vowzt+2Vo VIco nt wmr-nVIsir( Q2t )w+ vicos( ot )u=0(4)2穩定性分析假定式4)滿(mǎn)足邊界條件式(2)的解為下列級數的展開(kāi)形式ki.xx,t)=(5)式中(1)及()分別為紗線(xiàn)第k階廣義位移及振型函數現著(zhù)重分析紗線(xiàn)橫向振動(dòng)的一階振型近似展開(kāi)。將式5)代入式4)并采用 Galerkin截斷法有q1+ic-v6 )q1-212 Vo VIco at l L2 icos( nt a=0(6)并引入無(wú)量綱變量T式中ε為一小參數滿(mǎn)足0<≤1將式7)代入式6)得(1-y22y cod or )q1-Ety2a cos( ar )a在紡織工程中紗線(xiàn)的軸向運動(dòng)速度V(t)通常要遠小于其波速c即y≤1若y>1一種不太實(shí)際的情況)式8)所述系統將失穩。設a=1-y2并代入式8)得622y2acod(y1=0(9)采用多尺度法對式9)進(jìn)行一次近似展開(kāi)設q t e)=Eqd To ,T2)+equ To, T2)(10)式中To=τ,T2=ε2r。將式10)代入式9)并令方程兩邊有關(guān)ε同階次的系數相同得D5q10+o6q10=0Doqu +woqu =-2DoD2910+2y acod ato x(12)式中D、D2分別表示對T0T2的導數。從式11)可得910= AC T2 xp iwo To )+cc(13)式中c代表前項共軛下同將式13)代入式12)得Doqu+0qu=-2iwo A exd iwo To)+ya fAex (o+wo To ]+Aex (o-wo )To 1)+ cc( 14)本文只限研究系統的主參激共振由此設頻率調諧參數滿(mǎn)足(15)并代入式14)消除qn中的永年項得中國煤化工2iwgA'-y2aAex( icCNMHG(16)引入笛卡爾坐標變換A(T2)TT2)=iT2)]x(2并代入式摒離實(shí)、虛部得穩態(tài)相應的調制方程組為第24卷馮志華朱曉東蘭向軍軸向運動(dòng)紗線(xiàn)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)(18)因此從式18)中可方便地獲得系統穩定性的臨界曲線(xiàn)的解析表達式為并代入式15)有設=最終式20)成為(21)0.10y=0.10.100.10y=0.2y=03unstablea0.050050.05stablestable0.000.002.00.100.10y=0.50.1010.050.000.001.52.0圖2系統隨參數β變化的穩定區域圖B=0050.6B=0.1N0.30.0中國煤化工CNMHG圖3系統隨參數γ變化的穩定區域圖蘇州大學(xué)學(xué)報工科版)第5期圖2顯示了系統在不同的參數x(無(wú)量綱平均速度Vo)下隨參數無(wú)量綱速度幅值v1)變化的穩定區域變化圖類(lèi)似地圖3顯示了系統在不同的參數β下隨參數γ變化的穩定性區域變化圖。從圖中可發(fā)現系統不穩定區域隨參數β及γ的增大而增大換言之減小VaV有利于軸向運動(dòng)紗線(xiàn)的穩定性。3結論本文在所建立的軸向運動(dòng)紗線(xiàn)橫向振動(dòng)運動(dòng)方程基礎上基于 Galerkin截斷法并結合多尺度法詳細分析了系統一階近似情況下的主參激共振的穩定性問(wèn)題獲得了穩定性旳臨界解析表達形式。結果表明不穩定性區域與Va、V1緊密相關(guān)隨著(zhù)V與V1的增加不穩定區域變寬。參考文獻1] HUANG JS FUNG R F IN C H Dynamic stability of a moving string unergoing three-dimensional vibration J International Journal of Mechanical Science 1995 3x 2): 145-160[2] Mochensturm E M Perkins N C Ulsoy A G Stability and limit eyeles of parametrically exited axially moving string[ J ] ASME Journal of Vi-bration and Acoustics 1996, 1163)346-351[ 3] Parkdemirli M soy A G Ceranoglu A. Transverse vibration of an axially accelerating string[ J ] Journal of Sound and Vibration 1994, 1692)179-196[ 4] Pakdemirli M lsoy A G Stability analysis of an axially accelerating string J I Jourmal of Sound and Vibration 1997 2035)815-532[5] Suweken G, Van Horssen W T On the transversal vibrations of a conveyor belt with a low and time- varying veloctiy[ J I Part 1 :the string-likecase. Journal of Sound and Vibration 2003 264(2): 117-133[6] Tagata G. Parametric oscillations of a non-linear string J ] Journal of Sound and Vibration 1995, 181)51-78[7] Chen L Q Zhang N H u J W. Bifurcation and chaos of an axially moving viscoelastic string J I Mechanics Research Communications 2002 29(1)81-90Nonlinear Dynamics of an Axially Moving YarnFENG Zhi-hua . HU Xiao-dong , LAN XiCollege of Mechanical and Electronic Engineering of Sorchomwe University Suzhou 215021 ChinaAbstract The initial-boundary-value problems of a linear wave equation of an axially moving yarn are consideredThe ordinary differential equation of the first order approximate motion is derived based on the galerkin truncation to deseribe the transversal vibration of the yarn and the principal parametric resonance of the system is thenanalyzed using the method of multiple scales. The equations of approximate transition curves in the plane of thedimensionless frequency and excitation parameter that separate stable from unstable solution are derived Resultsshow that the unstalbe region is closely related to the average velocity Vo and the small speed amplitude of theharmonic motion VI of the yarn ,that is with the increase of both Vo and VI the unstable region become widerKey Words yarn Galerkin truncation ,the method of multiple scales principal parametric resonance ' stability中國煤化工CNMHG