數學(xué) 技術(shù) 數學(xué)教育

第13卷第4期數學(xué)教育學(xué)報Vol.13, No.42004年11月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONNov, 2004數學(xué)●技術(shù)●數學(xué)教育David Leigh-Lancaster(維多利亞州課程和評價(jià)局，澳大利亞)摘要:數學(xué)可以部分地理解為是對數、邏輯、空間和結構的功能和模式的研究.技術(shù)發(fā)展和數學(xué)發(fā)展之間的聯(lián)系貫穿整個(gè)歷史.無(wú)論是以手持還是以計算機操作平臺為基礎，類(lèi)似電子制表、動(dòng)態(tài)幾何系統、統計分析系統以及計算機代數系統等技術(shù)都提出了關(guān)于數學(xué)活動(dòng)本質(zhì)的問(wèn)題.在廣泛應用新技術(shù)以促進(jìn)數學(xué)學(xué)習的準備中，有兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題需要解決:教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展和恰當的教學(xué)資源的獲得.關(guān)鍵詞:數學(xué);數學(xué)教育:技術(shù):數學(xué)課程中圖分類(lèi)號: G434文獻標識碼: A文章編號: 1004 -9894 ( 2004) 040062 -05為確保學(xué)生獲得一定的方法、使用技術(shù)理解數學(xué)的過(guò)程，在1簡(jiǎn)介給定情景下所有可能應用的方法和工具中進(jìn)行理智選擇，學(xué)本文考慮了學(xué)校數學(xué)課程中諸如計算器和其它信息交生智力和動(dòng)手技能的健全發(fā)展是必不可少的.學(xué)生需要發(fā)展流技術(shù)(ICT)等應用中的- -些原則性和實(shí)踐性的問(wèn)題，以.種對所得結果是否合理的強烈意識，不管有沒(méi)有借助于技及趨勢及策略.從維多利亞的角度出發(fā)，考察了高中的數學(xué)術(shù)，并且能夠識別一種數學(xué)表示的不同表達形式.這些是不課程.對這些問(wèn)題所作的全面、綜合的思考，是基于對以下同階段的課程中做數學(xué)的補充部分，并且合理地理解相關(guān)概幾個(gè)方面的研究:數學(xué)、數學(xué)教育和技術(shù)之間歷史與現實(shí)的念、技能和過(guò)程將鞏固它們在不同理論和實(shí)踐背景下的有效關(guān)系，數學(xué)和數學(xué)教育的歷史和哲學(xué)，權威機構、委員會(huì )、應用這項工作將集中在數學(xué)關(guān)鍵方面:推理和表達、解答、理事會(huì )以及政府部門(mén)在歷史.上和目前所進(jìn)行的工作，這些部解釋和交流.其中，技術(shù)將在解決問(wèn)題和交流方面起到最大門(mén)是有關(guān)教學(xué)、課程和評價(jià)中計算器和其它ICT作用和應的協(xié)助作用.用的.維多利亞課程和評價(jià)權威機構(VCAA)是法定的機2技術(shù)構，負責從學(xué)前到12年級的課程和評價(jià).數學(xué)可以部分地理解為是對數、邏輯、空間和結構的功Mathematics的詞根是Math,意思是Learn. Technology能和模式的研究.它提供了一種思考的結構以及一種符號交對應的詞根是Tekhne,意思是技藝(Ar)或者技能(Skill).技流的形式，這種結構和符號形式是強大的、富有邏輯的、簡(jiǎn)術(shù)可以看作是技巧或技能(Tekhne)的系統應用(Logia).拉明的、精確的，是一種人們可以借助于理解和處理周?chē)h(huán)境丁詞中同義詞Ars來(lái)源于英文單詞Art,現在的意思是“...的方式.基本的數學(xué)活動(dòng)包括計算、抽象、假設(猜想)、的技藝(the Artof)”.實(shí)際上，古英語(yǔ)Arte或者Artes常常證明、應用、驗證、建模和提出并解決問(wèn)題.在維多利亞，用在歷史文獻中，表示做某事的方法.例如Roberte Recorde從學(xué)前到12年級的數學(xué)課程的設計，為學(xué)生提供了有價(jià)值的16世紀的算術(shù)課本名字是The Grounde of Artes--這是的、富有挑戰性的數學(xué)學(xué)習的途徑，它們在某種程度上考慮最早出現的用英語(yǔ)寫(xiě)作的文獻，因此更加接近于普通大到了更廣泛學(xué)生的需要.同時(shí)，課程的設計還促進(jìn)學(xué)生認識眾.有意思的是，公元前1世紀，古老的中國數學(xué)課本的名到在技術(shù)社會(huì )的日常生活中數學(xué)的重要性，以及提高學(xué)生有字叫做《九章算術(shù)》(Nine Chapters on the Mathematical效地使用數學(xué)思想、技術(shù)和方法處理問(wèn)題的自信心.Art)，也是用的Art， 與前面提到的涵義相同.牛津詞典中課程設計的根本原則是所有學(xué)生將從事以下的數學(xué)活把“Art”解釋為“技能，不同于自然的人類(lèi)的技能”，也解動(dòng): (I) 應用知識和技能:通過(guò)學(xué)習和實(shí)踐數學(xué)的算法、程釋為“作為某種更高級學(xué)習的智力工具的某個(gè)知識門(mén)類(lèi)”。比序和技巧,并使用它們找到解決問(wèn)題的方法來(lái)學(xué)習和掌握已較接近的一一個(gè)詞是“Artefact"人工制品，在字典上描述為經(jīng)存在的數學(xué)知識的不同方面: (2)建模、 研究和解決問(wèn)題:“經(jīng)過(guò)人類(lèi)加工制作的產(chǎn)品”。我們常常聽(tīng)到考古學(xué)家在- -些在不熟悉的情景中創(chuàng )造性地應用數學(xué)知識和技能,包括需要古遺址中發(fā)現各種各樣的人工制品，猜測和研究它們的用途觀(guān)察、建?；蛘邌?wèn)題解決步驟的真實(shí)生活情景; (3) 使用技和價(jià)值.考古學(xué)家們知道發(fā)現的這些“東西(Thing)”是“人術(shù):有效、恰當地使用技術(shù)獲得結果，這些結果支持數學(xué)學(xué)工制品”，而不僅是“物體(Object)”", 因為它們與人類(lèi)在習以及在不同環(huán)境中的應用"。特定環(huán)境下的生產(chǎn)和娛樂(lè )相聯(lián)系?！?技術(shù)(Technology)” 常在維多利亞，提倡教師和學(xué)生使用技術(shù)(比如圖形和被通中國煤化工urtefacts), 比如移動(dòng)電CAS計算器，電子表格，圖形和數字分析軟件包，動(dòng)態(tài)幾舌、面的.然而它對于明確何系統，統計分析系統，計算機代數系統)，作為學(xué)習新知地承MYHC N M H Gtefac”"的關(guān)系是重要識、技能訓練、標準地應用、研究的適當工具.與此相關(guān)聯(lián)，的.更準確地說(shuō)，Technology 是人工制品(Artefact) 和技收稿日期: 2004-08-29作者簡(jiǎn)介: David Leigh-Lancaser,男。澳大利亞維多利亞州課程和評價(jià)局數學(xué)主管、專(zhuān)家研究委員會(huì )主席，主要從事數學(xué)課程、數學(xué)教育及賴(lài)有評估研究第4期David Leigh-Lancaster:數學(xué)●技術(shù)●數學(xué)教育63藝(An) 的綜合-一有目的地使用特定的物體作為工具的事實(shí)上,算法和科學(xué)的計算器只能以數字模式運行，圖各種技藝的系統應用.形計算器可以以數字和圖形模式運行，CAS計算器可以集舉例來(lái)說(shuō)，我們來(lái)考慮一個(gè)又長(cháng)又細的木條,不論大小，數字的、圖形的和符號的3種模式運行，另外，這些計算器通常叫做一根“棍".現在棍(和相關(guān)的物體，例如柱或桿)能存儲大量的文本資料,比如學(xué)習筆記、間題的解和注釋.在有著(zhù)各種不同的用途，可以當作柴火、籬笆樁、挖掘工具、過(guò)去的大約十年的時(shí)間中，具有強大數學(xué)及其它功能的、基杠桿、建筑物的建筑材料、打魚(yú)或者耕作工具(鋤頭或者耙于計算機的和手持的技術(shù)有了提高，也包括鍵盤(pán)功能，觸摸子)、用于運載的武器(棍棒和矛)、廚房用具(攪拌器和筷板和光電筆(古老的棍又出現了)和語(yǔ)音識別模式的輸入和子)，甚至是簡(jiǎn)單的助行工具(拐杖)等.在以上這些情況操作.這些技術(shù)也給其它與數學(xué)密切相關(guān)的學(xué)科和領(lǐng)域提供中，這些人工制品都是從基本的棍通過(guò)各種不同的加工處理了更多的功能.在教育中，這些技術(shù)已經(jīng)展開(kāi)應用，并且將制成的.隨著(zhù)時(shí)間的推移，更多地發(fā)現了關(guān)于棍的更加抽象繼續為教學(xué)、學(xué)習和評價(jià)提供新的機會(huì )，也將給整個(gè)教育體的形式和應用，比如樂(lè )團指揮的指揮棒、計數棒、內皮爾骨、系和教師在如何對技術(shù)的發(fā)展做出有效回應方面提出挑戰.滑尺(兩個(gè)平行的可移動(dòng)的棍，上面標有對數刻度)等. 這3技術(shù)和數學(xué)不僅僅是一個(gè)物質(zhì)的棍，而是有用的符號表示.一根小棒，或其符號表示為一條垂直或水平的線(xiàn)段,從史前開(kāi)始就- - 直技術(shù)發(fā)展和數學(xué)發(fā)展之間的聯(lián)系是貫穿整個(gè)歷史的.在用來(lái)記數.動(dòng)物大腿骨的各種不同的切口，有時(shí)候組成組，有些情況下，數學(xué)的發(fā)展導致了新技術(shù)的出現，比如19世或者是其它材料被用做記數.實(shí)際上，羅馬數字3表示為lI紀和20世紀初期的數理邏輯形成了現代ICT技術(shù):而在其(垂直線(xiàn)段)，用中文表示是三(水平線(xiàn)段).印度- -阿拉伯它--些情況中,新技術(shù)的使用反過(guò)來(lái)又刺激了數學(xué)和數學(xué)應的數字符號3，如果稍稍加上一些想象力的話(huà)，也可以看作用的進(jìn)展,比如迭代變換的圖形表示導致了混沌理論分析及是3條水平線(xiàn)段由曲線(xiàn)連接而成。當然，其它不完全規則的其在氣象學(xué)、流體和市場(chǎng)經(jīng)濟行為等其它領(lǐng)域中的應用.物體也可以用來(lái)記數，作為單元或者籌碼，比如算盤(pán)上的珠歷史上在各自時(shí)期的“新”技術(shù)的例子，包括算盤(pán)和計數板、算術(shù)計算的筆紙算法、機械計算器和電動(dòng)計算機以及子、計數板上的干豆或者小石頭等.隨著(zhù)12世紀意大利的Leonardo Fibonacci將其介紹到歐電子計算機.數學(xué)家，和其他每天在實(shí)際情況中使用計算和洲，人們把印度- -阿拉伯“鉛筆和紙”做算術(shù)的技巧看作是表格的人，一直對具有一- 定功能的算法和程序的設計方法和.種激進(jìn)的、充滿(mǎn)爭議的革新.經(jīng)過(guò)幾個(gè)世紀，到文藝復興裝置的可能性感興趣，這些功能可以使計算有效地運行，這時(shí)期，才被意大利的商業(yè)銀行和會(huì )計應用所接受.朱世杰是些想法背后的理論框架,只是在20世紀30年代才由數理邏中國宋末元初的一位最著(zhù)名的數學(xué)家.這個(gè)時(shí)期是中國數學(xué)輯明確地揭示出來(lái)，而在此之前數理邏輯已有幾百年的歷發(fā)展的黃金時(shí)期，包含有用多項式方程來(lái)表示的問(wèn)題建立起史.然而，可以實(shí)施各種計算的設備裝置與有記錄的人類(lèi)歷來(lái)，并運用計數板加以解決.這些方法，是基于操作計數板史一樣古老，甚至更早.若干世紀中所發(fā)生的變化是人類(lèi)作上表示多項式系數的矩陣來(lái)解決問(wèn)題的,它們是最早出現的為操作者，所需要輸入的數據、運行的方法和對結果進(jìn)行解計算代數(Computational Algebra). 在每個(gè)情況中，技術(shù).釋的程度.早期的技術(shù)，對數據的每個(gè)處理階段都需要人的(Technology)的使用需要系統應用與相關(guān)工具或者人工制f預.在這些技術(shù)中,中間結果沒(méi)有被記錄，與計算相關(guān)的品相連的技藝，可能是圖表、計劃、機械或電子裝置.歷史步驟是無(wú)“記憶”的.這樣的計算是無(wú)法檢查的，除非重復上出現過(guò)的數學(xué)的記數和計算裝置主要有:桌上型的有計數一遍、另一方面，“紙筆”的書(shū)面計算總可以把中間步驟作板，機械計算器和機器，電機械計算機，電離子計算機及電為外在記憶(紙上的標記)保留下來(lái)，以便將來(lái)檢查.子數字半導體計算機等:手持型的有手(手指)計算器，算在西方，從17世紀開(kāi)始，人們就在制造用于基本算術(shù)盤(pán)，電子數字算術(shù)計算器，電子數字科學(xué)計算器，電子數字計算的簡(jiǎn)單設備,那個(gè)時(shí)期的操作者不要求完成計算的中間圖形計算器及電子數字計算機代數系統(CAS計算器)等.步驟，只是輸入原始數據，并解釋最后輸出的結果，同時(shí)還不論何時(shí)，數學(xué)超越個(gè)人思維活動(dòng)變成-一個(gè)公共的領(lǐng)要投入一些體力，比如轉動(dòng)輪子來(lái)啟動(dòng)計算設備。這些發(fā)展域，這個(gè)過(guò)程的中間媒介就是某種形式的信息和交流技的實(shí)際動(dòng)機包括:節約時(shí)間做其它工作，提高計算速度，增術(shù). -旦技術(shù)為我們所熟悉，它們往往被當成是無(wú)形的，它加計算的可靠性.們的應用也是理所當然的.只有當-種新的技術(shù)形成的時(shí)這些裝置的進(jìn)一-步發(fā)展導致了相當復雜的機械計算機，候，或者-一-種已有技術(shù)產(chǎn)生某種新的用途時(shí)，我們才會(huì )停下這個(gè)發(fā)展一直持續到1937年，電動(dòng)機械和電子元件在幾十來(lái),思考這種應用的益處和適當性.人類(lèi)是-.種科技的動(dòng)物，年中很快取代了長(cháng)久以來(lái)使用的更笨重的機械裝置.在在我們的種族、社會(huì )、歷史的、已有的和即將的進(jìn)化和發(fā)展1927年, Claude Shannon利用布爾代數，發(fā)展了在計算設備中，技術(shù)起著(zhù)中心的作用.技術(shù)使我們的生活更加容易-上開(kāi)關(guān)中國煤化工是，據報道，他所做它們使我們更加輕松、更加可靠地用更少的努力做成某些事的繁重的YH;計算機上完成的，這情.從20世紀70年代初期以來(lái),已經(jīng)有各種不同的電子技個(gè)計算C N M H Gannevar Bush的微分術(shù)產(chǎn)品應用于數學(xué)和數學(xué)教育:算術(shù)四則運算計算器，科學(xué)分析器，它可以給出包含18個(gè)自變量的微分方程的圖形解。計算器，各種微機應用軟件，圖形計算器和近來(lái)帶有CAS直到最近，計算器.計算機這類(lèi)術(shù)語(yǔ)才開(kāi)始用來(lái)指代“技術(shù)的人工制品(Artefact)"， 而不是指操作技術(shù)的人.這種的手持計算器.它們的運算功能在逐步擴大.64數學(xué)教育學(xué)報第13卷稱(chēng)謂的改變是與1940年以來(lái)，自動(dòng)計算和計算裝置的演變Further Mathematics是以大量數據分析為核心的離散數相聯(lián)系的，在這些計算中，操作者不需要干預計算過(guò)程的各學(xué); Specialist Mathematics是一-門(mén)高水平的純粹和應用的數個(gè)階段，只要輸入數據即可.隨著(zhù)20世紀.上半葉數理邏輯學(xué)學(xué)習:《數學(xué)方法》1~4單元包括坐標幾何、函數、代數. .理論和可計算性理論的不斷發(fā)展，結合電子和其它技術(shù)設備微積分和概率，同時(shí)為諸如數學(xué)、科學(xué)、工程學(xué)、醫學(xué)和經(jīng)的高速進(jìn)展，人工智能和自動(dòng)證明理論成為新的主要研究領(lǐng)濟學(xué)等領(lǐng)域的后續學(xué)習提供準備,其中單元3和單元4通常域.類(lèi)似地，特別是在最近- - 二年中，在數學(xué)教學(xué)和學(xué)習中是必備的，單元1和單元2通常安排在11年級，單元3和使用計算機和計算器的興趣一直在增長(cháng)， 而像計算機代數系單元4，與學(xué)年結束時(shí)的考試，安排在12年級.在2001年統、統計分析系統和動(dòng)態(tài)幾何系統這些技術(shù)，隨著(zhù)其幾十年2月，延續權威機構的前身鑒定委員會(huì )的工作，前研究委員在研究領(lǐng)域、工業(yè)和商業(yè)中的廣泛使用，變得更加有用.會(huì )認定《數學(xué)方法》(CAS)單元1~4從2001年1月到2005復雜的和集成的算法平臺在1970 年以后正式發(fā)展起年12月31日期間試行.這是一個(gè)《數學(xué)方法》的平行科目，來(lái)，這些平臺在數學(xué)構造上能自由地運作，并能使使用者可它假設學(xué)生都能得到承認的CAS.與此同時(shí)，數學(xué)方法假以像他們用腦或手一樣，定義和操作數學(xué)對象.可能最為人定學(xué)生都能得到圖形計算器.從2006年開(kāi)始，所有的學(xué)校們熟知和使用最廣泛的就是各種各樣的計算機代數系統,如都將能夠為他們的學(xué)生提供《數學(xué)方法》(CAS)單元Derive, Maple and Mathematica, 出現了許多功能強大、用1-4.對于課程和評價(jià)權威機構，教育學(xué)、課程和評價(jià)之間途明確的數學(xué)應用軟件,包括電子制表軟件、統計分析系統、的一致性，是討論技術(shù)應用的中心部分.這里的- -致性指的動(dòng)態(tài)幾何系統軟件.幾何畫(huà)板.這些軟件是使用專(zhuān)門(mén)的程序是在課程結構和目標、數學(xué)工作的方法、評價(jià)的本質(zhì)和目的語(yǔ)言編制的，它們的操作界面設計得非專(zhuān)家也可以輕松使之間的結合，尤其是在考試中.回答這個(gè)問(wèn)題，有幾種方法用.然而，要有效使用這些可以在各個(gè)研究領(lǐng)域中進(jìn)行調查、可以運用，包括設計校本和外部評價(jià)的任務(wù)和問(wèn)題，以及在研究、建?；蛘邌?wèn)題解決的強大工具，就需要對數學(xué)以及相評價(jià)的組成部分中自由、積極地運用技術(shù). VCAA目前正在應研究領(lǐng)域的學(xué)科有充分的理解.今天，教師和學(xué)生已經(jīng)可反思高中數學(xué)課程，維多利亞教育認證委員會(huì )(VCE)的關(guān)以利用這些工具.于數學(xué)學(xué)習的咨詢(xún)草案可以從VCAA網(wǎng)站獲得.4數學(xué)教育 中的技術(shù)的個(gè)案研究5在數學(xué)課程中數字技術(shù)的使用伴隨著(zhù)技術(shù)在數學(xué)教育中的運用，20世紀后半葉，維案例1運用圖形計算器找出兩條曲線(xiàn)之間的面積.多利亞的數學(xué)教育大致可以分為4個(gè)階段.學(xué)生在學(xué)習高中數學(xué)課程的主要函數、代數和微積分●20 世紀60年代，“新數學(xué)”Jean Piaget 和Zolan中，有兩個(gè)簡(jiǎn)單而熟悉的函數，它們是定義在實(shí)數域上的Dienes的認知方法的出現，與此并行的主要來(lái)自于美國的行y=x2和y2= sinx.它們是初等函數，通常在那些課程中還為主義和“掌握學(xué)習”，以及滑尺和表的使用.要學(xué)習各種的其它函數.積分的一個(gè)通常應用就是找出兩個(gè)●20 世紀70年代，接近于數學(xué)建構的“發(fā)現學(xué)習”函數圖像及其交點(diǎn)所圍成的區域的面積.只要兩個(gè)初等函數方法的發(fā)展和數學(xué)建模的出現(尤其是在70年代后期),主的任意組合能夠適當相交.因此，一個(gè)很自然的問(wèn)題就是如要來(lái)自英國，以及科學(xué)計算器的使用.何根據函數式yi和》來(lái)求出面積.●20世紀80年代，數學(xué)建模的延續，“問(wèn)題解決”顯然，當x=0時(shí), y1=y2，另外一個(gè)使y值相等的點(diǎn)x的出現，特別是來(lái)自80年代全美數學(xué)教師協(xié)會(huì )(NCTM),=k，因為1=1, sinx的最大值是1，所有k