導數的應用

課程研究導數的應用周春光(河北省故城縣高級中學(xué)河北衡水253800)摘要:導數作為一種數學(xué)應用工具,近幾年考查中逐年在加大力度,它是解決許多知識的一種有力工具,通過(guò)多年的教學(xué),特對導數的應用作一總結關(guān)鍵詞:導數;最值;單調性中圖分類(lèi)號:G632獻標識碼:B文章編號:1002-7661(2013)19-135-01利用導數求切線(xiàn)問(wèn)題研究這類(lèi)題,因為切線(xiàn)斜率與切點(diǎn)坐標有關(guān),且切點(diǎn)是切線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn),故在未知切點(diǎn)坐標時(shí),通常是假設出切點(diǎn)解依題意f(=-1,然后寫(xiě)出切線(xiàn)的方程,同時(shí)要注意切點(diǎn)坐標滿(mǎn)足已知曲線(xiàn)的方f'(1)3-6a+2b=01-3一程。必須注意區分切線(xiàn)經(jīng)過(guò)某點(diǎn)與某點(diǎn)為切點(diǎn)的切線(xiàn)問(wèn)題例已知函數八(32+3,過(guò)點(diǎn)p2,4作曲線(xiàn)y=f(即f(x)=x3-x2-x的切線(xiàn),求切線(xiàn)方程。由f(x)=0得x=1.x=-1f(r)3++4,f(x)=xf(-2)=-10,f(2)=2,f(1)=-1,f(一)=設過(guò)點(diǎn)P(2,4)曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn)l,切點(diǎn)為Q(xn,yn)f(x)在[22]上的值域為[-10.2]三、利用導數研究函數的單調性則切線(xiàn)的斜率為k=f(x0)=x02,切線(xiàn)l的方程為以導數知識為工具研究函數單調性對函數單調性的研究導數作為強有力的工具提供了簡(jiǎn)單、程序化的方法,具有普遍的可操作方法y-4=x02(x0-2)例已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定義在R上的函數,其圖又、14,且y-4=x2(x-2)象交x軸于A(yíng)、B、C三點(diǎn),點(diǎn)B的坐標為(20,且f(x)在-10和0.2有相反的單調性。①求C的值。②若函數(x)在0.2和45也有相反的單調性,fx)的圖象上是否存在一點(diǎn)M使得f(x)在點(diǎn)所以-x+-)-4=x(x0-2)M的切線(xiàn)斜率為3b?若存在求出M點(diǎn)的坐標;若不存在,說(shuō)明理由。x03-3x2+4=0,即(x0+1)(x2-4xn+4)=0解x+cf(x)在-10和0,2有相反的單調性解得:x=-1,或x=2x=O是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),故f(x)=0?！耤=0。切線(xiàn)方程為y-4=x-2,或y-4=4(x-2)f(x)=0得3x2+2bx=0x-y+2=0,或4x-y-4=0。極值與最值問(wèn)題函數的極值與最值是有區別的,極值實(shí)際上的函數在一個(gè)局部的最值,但如果一函數在其定義域上只有一個(gè)極值點(diǎn),則因為(x)在0,2和4,5]有相反的單調性,該極值往往是該函數的最值(或者是最大值,或者是最小值)函數在極值點(diǎn)處的導數必為0,但導數為0的點(diǎn)卻不一定f(x)在0.2和45},有相反的符號是函數的極值點(diǎn);只有當在導數為0的點(diǎn)附近導數的值的符號故2≤一=b≤4,-6≤b≤-3。改變,該點(diǎn)才是函數的極值點(diǎn)(從導數為0的點(diǎn)的左方到右方如果導數的值由正變到負,則該點(diǎn)為極大值點(diǎn);如果導數的值假設存在點(diǎn)M(xn,yn)使得fx)在點(diǎn)M的切線(xiàn)斜率為3b,則由負變到正,則該點(diǎn)為極小值點(diǎn))一個(gè)連續函數在閉區間[a,b]上既有最大值,也有最小值f(xn)=3b。即3x+2b在求其最值時(shí),只需求出導數為0的點(diǎn)處的函數值,并與a3h=4hh+9)而e\=3b△<0b處的函數值進(jìn)行比較,選出較小者即為最小值,選出較大者中國煤化工即為最大值,并沒(méi)有討論導數為0的點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值故不存在點(diǎn)CNMHG切線(xiàn)斜率為3b點(diǎn)的必要。例設f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1時(shí)取得極小值《讀寫(xiě)算》2013年第19期135