導數的應用

2011年第2期杜丹江教育學(xué)隴學(xué)報2,2011(總第126期)JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATIONSerial No 126導數的應用李國華(齊齊哈爾高等師范專(zhuān)科學(xué)校,黑龍江齊齊哈爾161005)[擴要]導數是微分學(xué)中最基本的概念,本文通過(guò)導數在求切線(xiàn)方程中的應用、利用導數求出函數的單調性、利用導數求函教的最大值和最小值等方面的應用分析,說(shuō)明了導數的重要性。[關(guān)鍵詞]導數;凹凸性;拐點(diǎn)[中圖分類(lèi)號]O174[文獻標識碼]A[文章編號]1009-2323(2011)02011202導數反映了函數相對于自變量變化而變化的快慢程(2,+∞),單調減少區間為(1,2)度,即函數的變化率,它使人們能夠用數學(xué)工具描述事物變從此例題可知確定函數的單調性的一般步驟化的快慢及解決一系列與之相關(guān)的問(wèn)題。(1)確定函數的定義域;一、導數在求切線(xiàn)方程中的應用(2)求出使函數∫(x)=0和∫(x)不存在的點(diǎn),并以例1求曲線(xiàn)y=x在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)的斜率并寫(xiě)這些點(diǎn)為分界點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)子區間出切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程(3)確定f(x)在各個(gè)子區間的符號,從而確定f(x)解:y=(x2)=3x2,由導數的幾何意義,所求切線(xiàn)的的單調區間斜率為三、利用導數求函數的最大值和最小值設f(x)在(a,b)內的駐點(diǎn)為x1,x2,…,x則比較f(a),所求切線(xiàn)方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0f(x),f(x),…,f(x),f(b)值的大小,其中最大的是f(x)過(guò)(1)點(diǎn)法線(xiàn)的斜率為一1一-,所求法線(xiàn)在例的最,小的是(口在2的方程為y-1=-3(x-1),即x+3y-4=0上的最小值。解:f(x)=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)二、利用導數求函數的單調性令:∫(x)=0得駐點(diǎn)x1=3,x2=-1.x=-1不在給函數單調性的判定法:設函數y=f(x)在[a,b]上連定區間[1,]內故不必討論續,在(a,b)內可導,f(3)=2×33-6×32-18×3-7=-61(1)如果在(a,b)內f(wàn)(x)>0,那么函數y=f(x)在f(1)[a,b]上單調增加;f(4)-2×42-6×42-18×4-7=-47(2)如果在(a,b)內∫(x)<0,那么函數y=f(x)在比較這三個(gè)數的大小得知,f(x)在[1,4]上的最小值[a,b]上單調減少為∫(3)=-61例2確定函數f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調區四、利用導數的性質(zhì)來(lái)證明不等式例4證明:當x>1時(shí),3/>3-1解:這個(gè)函數的定義域為(一∞,+∞),求這個(gè)函數的導數。證明:令∫(x)=2z-(3-1),則f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)解方程∫(x)=0,即解6(x-1)(x-2)=0,r(a)-2-2x-解得x=1,x2=2,這兩個(gè)根把定義域分成三個(gè)子區間:(-∞,1),(1,2),(2,+∞).列表如下:f(x)在[1,+∞)上連續,在(1,+∞)內∫(x)>0,因此在[1,+∞)上f(x)單調增加,從而當x>1時(shí),f(x)>f1,2)(1)由于f(1)=0,故f(x)>f(1)=0,即3/x-(3-)>0由該表可知:函數f(x)的單調增加區間為(-∞,1)和中國煤化工[收稿日期]2010-0801THCNMHG[作者簡(jiǎn)介]李國華(1977-),男,黑龍江蘭西人,齊齊哈爾高等師范專(zhuān)科學(xué)校講師,主要研究方向:高等數學(xué)和概率論與教理統計通過(guò)這個(gè)題我們可以看到當證明不等式時(shí),當不等式稱(chēng)為邊際分析方法。不能作差或作商時(shí)我們可以用導數的性質(zhì)來(lái)解決。1.邊際威本五、利用導數來(lái)求函數的極限在經(jīng)濟學(xué)中,邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所我們已經(jīng)掌握了求極限的幾種方法,但對“?！薄荨毙驮黾拥某杀?。設某產(chǎn)品產(chǎn)量為q單位時(shí)所需的總成本為C=C(q).由于的極限,不能直接運用四則運算法則求極限,一般先要對其C(q+1)-C(q)=△C(q)≈dC(q)=C(q)△q=C(q)進(jìn)行適當的變換、化簡(jiǎn),使其滿(mǎn)足四則運算法則的條件,再所以邊際成本就是總成本函數關(guān)于產(chǎn)量q的導數。求其極限。變換、化簡(jiǎn)很麻煩,有時(shí)甚至無(wú)法化簡(jiǎn)。那么我2.邊際收入們可以利用羅彼塔法則來(lái)求其極限。在經(jīng)濟學(xué)中,邊際收入定義為多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品所塔法則:設函數f(x)與g(x)滿(mǎn)足條件增加的銷(xiāo)售收入(1)lim f(r)=ling(r)=o(a lim f(x)=lim g(z)=oo),設某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為q時(shí)的收人函數為R=R(q),則(2)在點(diǎn)x的某鄰域內(點(diǎn)x?？沙?,(x)及g收入函數關(guān)于銷(xiāo)售量q的導數就是該產(chǎn)品的邊際收人R(x)都存在且g'(x)≠0;3.邊際利潤存在。(或為∞設某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量為q時(shí)的利潤函數為L(cháng)=L(q),當(當x→x0改為x→∞L(q)可導時(shí),稱(chēng)L(q)為銷(xiāo)售量為q時(shí)的邊際利潤,它近似等于銷(xiāo)售量為q時(shí)再多銷(xiāo)售一個(gè)產(chǎn)品所增加(或減少)的利時(shí),定理仍然成立潤。由于利潤函數為收人函數與總成本函數之差,即例5求lim由導數運算法則可知L'(q)=R(q)-C(q)即邊際利潤為邊際收入與邊際成本之差例8設某產(chǎn)品產(chǎn)量為q(單位:1)時(shí)的總成本函數(單例6求lin1n2x位:元)為C(q)=1000+7q+50q,求(1)產(chǎn)量為100噸時(shí)的總成本21nr(2)產(chǎn)量為100噸時(shí)的平均成本;lim 2Inr.=0(3)產(chǎn)品從100噸增加到225噸時(shí),總成本的平均變化率;六、利用導數來(lái)研究函數的凹凸性與拐點(diǎn)(4)產(chǎn)品為100噸時(shí),總成本的變化率(邊際成本)定理設f(x)在[ab上連續,在(a,b)內具有一階和解:(1)產(chǎn)量為100噸時(shí)的總成本為:二階導數,那么C(100)=1000+7×100+50√100=2200(元)(1)若在(a,b)內∫(x)>0,則∫(x)在[a,b]上的圖形(2)產(chǎn)量為100噸的平均成本為是凹的;C(100)22(元/噸)(2)若在(a,b)內∫(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。(3)產(chǎn)品從100噸增加到225噸時(shí),總成本的平均變化例7求曲線(xiàn)y=x2-2x3+1的凹凸區間與拐點(diǎn)。率為解:y=4x3-6x2y=12x2-12x=12x(x-1)2-s22-023325-2200令y=0,解得x=0,x=1(4)產(chǎn)品為100噸時(shí),總成本的變化率,即邊際成本為列表來(lái)討論曲線(xiàn)的凹凸區間與拐點(diǎn)0(0,1)(1,+∞)c(10)-=(100+1+50q)1m=(7+25)|r-mf(x)+f(r)點(diǎn)(0,1)拐點(diǎn)(1,0)∽這個(gè)結論的經(jīng)濟含義是:當產(chǎn)量為100噸時(shí),再多生產(chǎn)曲線(xiàn)在(-∞,0)及(1,+∞)兩個(gè)區間上是凹的,在(0,1噸所增加的成本為9.5元1)區間上是凸的,(0,1)和(1,0)是它的兩個(gè)拐點(diǎn)[參考文獻][1]王勁松,高等數學(xué)[M.重慶:西南師范大學(xué)出版社,2008七、導數在經(jīng)濟分析中的應用[2]顧靜相經(jīng)濟數學(xué)基礎[M.北京:高等教育出版社,2009邊際概念是經(jīng)濟學(xué)中的一個(gè)重要概念,一般指經(jīng)濟函[3]劉嚴,丁平新編高等數學(xué)[M]大連理工大學(xué)出版社,2007數的變化率。利用導數研究經(jīng)濟變量的邊際變化的方法Application of Differential Coefficient(Qiqihaer Specialized Higher Normal School, Qiqihaer, Heilongjiang 161005)Abstract: Differential coefficient is the basic definitI nnlealse. The article attemptsto get the application of tangential equation by differential中國煤化工 esential coeffto get monotoof function and make use of differenCNMHG and minimum offunction, stating the importance of differential coefficient.Key words: differential coefficient; concavity; inflexion[賚任編輯:叢愛(ài)玲]