偽除法及其應用

2012年03月內蒙古民族大學(xué)學(xué)報Mar.2012第18卷第2期Journal of Inner Mongolia University for NationalitiesVol 18 No. 2偽除法及其應用白根柱,孫飛(內蒙古民族大學(xué)數學(xué)學(xué)院,內蒙古通遼028043〔摘要〕本文利用偽除法很妤地解決了有理系數多項式帶余除法運算中出現分式系數的問(wèn)題?？蓱糜谇髢蓚€(gè)多項式的最大公因式并求滿(mǎn)足丟番圖方程八(x)u(x)+g(x)n(x)=(f(x),g(x)的u(x),(x)以及判斷多項式八(x)有無(wú)重因式?！碴P(guān)鍵詞〕偽除法;帶余除法;最大公因式;重因式〔中圖分類(lèi)號〕015〔文獻標識碼〕A〔文章編號〕1671-0185(2012)02-0001-021引言在高等代數中,我們討論了域上的一元多項式環(huán),這樣的環(huán)是 Euclid整環(huán)。而在 Euclid環(huán)上是可以進(jìn)行帶余除法運算的,這使得我們能夠容易地處理給定的問(wèn)題。但是有時(shí)很多研究對象不是 Euclid整環(huán),比如說(shuō)整數環(huán)上的一元多項式環(huán)。又如對某一多元多項式,當把它看成某一未定元的多項式時(shí),它的系數是其他未定元的多項式,這種觀(guān)點(diǎn)下的多元多項式全體就是一個(gè)環(huán)上的多項式環(huán)?；趩?wèn)題的需要,我們必須討論環(huán)上的多元多項式環(huán)2定義和主要結論設D是一個(gè)整環(huán),D上的一元多項式的定義和次數同高等代數22我們討論D上的一元多項式的全體D(x。設給定的多項式A∈D[x]的次數為deg(A)=n,A中的乘冪x的系數為an,則稱(chēng)ax為A的領(lǐng)式記為lm(A)=anx,an稱(chēng)為A的領(lǐng)項系數,記作c(A)=an,x稱(chēng)為A的領(lǐng)項,記作t(A)=x定義2.1設D為唯一分解環(huán),A=∑ax∈Dx]。A的容度記作cont(A),定義為eont(A)=gcd(a,a1,…,an)。若cont(A)=1,且e(A)=1,則稱(chēng)A為本原的。A的本原部分記作pp(A),定義為p!A)=u(A)- A/cont((A)。為方便計,定義cont(O)=pp(0)=0。由帶余除法,容易證明以下定理。定理22設f(x),g(x)∈Dx],(f(x)≥叭(g(x))且le(g(x)=b≠0,則存在q(x),(x)∈Dx]滿(mǎn)足a(r(x)a(n2(x))>…>a(n(x))>…,故序列(x),(x),…,(x),…必終止于某n(x)。于是由定理23可知,有n(x)=gcd((x),g(x))。3實(shí)例應用定理22和定理23,先求出滿(mǎn)足定理條件的商式和余式以及兩個(gè)多項式的最大公因式,并得到整系數的相關(guān)等式最后每一個(gè)等式除以同一整數,即可得到滿(mǎn)足條件的各個(gè)式子。例1設f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3g(x)=2x-5x2-4x+3是Q(x)上的多項式,求a(x),v(x)∈Q(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=((x), g(x)).解:作偽除法2f(x)),r1(x)=-3x2+14x-15(-3)28(x)=(-6x-13)r1(x)+(56x-168)=(-6x-13)r1(x)+n2(x),2(x)=56x-168;6r1(x)=(-3x+5)n2(x)于是56(x-3)=22(6x+13)f(x)+(-12x2-32x-4)g(x)(x-3)=u(x)f(x)+u(x)g(x)。其中x這個(gè)方法還可以應用于判斷一個(gè)多項式是否有重因式,在計算過(guò)程中每次帶余除法都是在整數環(huán)中進(jìn)行,最后列出滿(mǎn)足條件的等式?？嘉墨I〔1〕張禾瑞近世代數基礎(修訂本)[M〕北京:高等教育出版社,1978〔2)張禾瑞,郝炳新高等代數(第三版)(M〕.北京:高等教育出版社,1983〔3〕張樹(shù)功,雷娜,劉停戰計算機代數基礎(M〕.北京:科學(xué)出版社,2005.〔貴任校對鄭瑛〕中國煤化工CNMHG